353. Exakte Differentialgleichungen 
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du = Mdx -f Ndy = Mdx -f 
mithin ist 
und schließlich 
dfMdx d Y 
dy dy_ 
dy, 
dfMdx d y 
dy T dy 
/( 
N- 
d fMdi 
dy 
)dy. 
also hat man 
du 
Geht man von ^ = JV aus, so ergibt sich durch ein analoges Ver 
fahren /v / d/Ndy' 
-f{Ncly 
+ (M 
dx 
')dx\ 
Die divergierenden Teile beider Darstellungen stimmen sachlich 
wegen (3) miteinander überein: denn es ist 
C dfMdx rr dM 
_ f f dxdy. 
Nach erfolgter Ausrechnung von u ist das allgemeine Integral ge 
mäß der Vorschrift (2) anzusetzen. 
354. Beispiele. 1. Die Differentialgleichung 
x(x + 2y)dx -j- (# 2 — y 3 )dy = 0 
ist exakt, weil 
d [x(x + 2 y)] 0 „ d (** — y*) 
dy X dx 
Nun ist j x(x 4- 2y)dx = y 4- X 2 y 
ft* 
y*)dy = X*y 
P 
d fx(x 4- 2y)dx 
dy 
c fx(x 4- 2 y)dx 
dy 
dy = x^y, 
demnach 
oder 
das allgemeine Integral. 
y 
= konst. 
T + % y » 
x 3 -f 3 x 2 y — y 3 = C