380 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
2. Die Gleichung 
x(x 2 -r 3y r )dx -{- y(y 2 -\- 3x 2 )dy = 0 
erfüllt gleichfalls die Bedingung einer exakten Differentialgleichung. 
Sondert man Glieder von der Fprrn Xdx, Ydy, die exakte Differentiale 
sind, ab, so muß dann notwendig der erübrigende Teil die Bedingung 
wieder erfüllen; in der Tat ist dies bei 
x z dx -f y z dy + 3 (xy 2 dx -f x 2 ydy) = 0 
der Fall. Und da man hier die Funktion, von welcher xy 2 dx -f x 2 ydy 
das Differential ist, unmittelbar erkennt — es ist dies ^x 2 y 2 —, so kann 
man das allgemeine Integral sofort hinstellen: 
oder 
x' 1 -j- y 4 -f 6x‘ 2 y 2 = C. 
3. Die Gleichung e x (x 2 + y 2 -f- 2x)dx -f 2ye x äy = 0 zu integrieren 
(Lösung: (x 2 -j- y 2 )e* = C) und die Gleichung 352, 5b) als exakte zu be 
handeln. 
355. Der integrierende Faktor. Wenn die Differentialgleichung 
Mdx -f- FJdy = 0 
(i) 
die Bedingung ~~ => nicht erfüllt, so muß doch ihr allgemeines In 
tegral, dem man immer die Gestalt 
(2) 
geben kann, so beschaffen sein, daß die Gleichung 
(3) 
mit (1) dem Wesen nach übereinstimmt, d. h. daß beide für jede Wert 
verbindung xjy denselben Wert für ergeben, also ein und dasselbe 
Cl cc 
System von Linien elementen definieren. Dies ist nur dann der Fall, wenn 
die linke Seite in (3) sich von der linken Seite in (1) nur um einen nicht 
identisch, d. h, für alle Wertverbin düngen von x, y verschwindenden 
Faktor unterscheidet, so daß 
alMdx + Ndy) = + p^dy - du. 
W 
Ein solcher Faktor 4 u, welcher die linke Seite von (1) in ein exaktes 
Differential verwandelt, wird ein integrierender Faktor der Gleichung (1)