355. Der integrierende Faktor 
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genannt, weil nach Auffindung eines solchen die Gleichung nach dem in 
353 entwickelten Vorgänge integriert werden kann. 
Neben g ist aber jeder Ausdruck von der Form pcp(u), was auch 
(p für eine Funktion sein möge, aber auch nur ein solcher, integrierender 
Faktor von (1), weil, vermöge (4), auch 
¡i<p(ii)(Mdx -f Ndy) = cp(u)du 
ein exaktes Differential ist; durch seine Integration entsteht eine Funk- 
tion und die Gleichung 
(5) 
0(u) = C 
ist ebenso das Integral von (1) wie 
Sind also zwei wesentlich verschiedene, d. h, nicht bloß durch einen 
konstanten Faktor sich unterscheidende integrierende Faktoren einer 
Differentialgleichung bekannt, so möge der eine mit g bezeichnet wer 
den, dann ist der andere mit gcp(u) anzusetzen; ihr Quotient cp(w), einer 
willkürlichen Konstanten gleichgesetzt, gibt eine Gleichung von der Ge 
stalt (5). Mithin hat die Kenntnis zweier integrierender Faktoren einer 
Differentialgleichung die Kenntnis ihres allgemeinen Integrals zur Folge. 
Als eine Methode von großer Anwendbarkeit kann die Integration 
mittels des integrierenden Faktors nicht bezeichnet werden 2 ), denn die 
Aufgabe, zu einer vorgelegten Differentialgleichung einen integrierenden 
Faktor zu bestimmen, ist in der Regel ein schwierigeres Problem als 
die Integration der Gleichung selbst. Dem Art. 853 zufolge hat nämlich 
der integrierende Faktor der Bedingung 
d(jiM) _ d(pN) 
dy dx ’ 
also der partiellen Differentialgleichung 
1) Vgl. hierzu 846. 
2) Mau bringt die Methode vorzugsweise mit dem Namen L. Eulers in Ver 
bindung und nennt sie nach ihm auch Methode des Eulerscfte» Multiplikators, 
weil er die zugrunde liegende Idee am eingehendsten verfolgt hat (1760), Doch 
findet sich eine Andeutung davon schon bei Johann Bernoulli, und A. Clai- 
raut hat (1739) von dem Verfahren in bewußter Weise Gebrauch gemacht.