•382 V. Abschnitt. § 2. Integrationsniethoden für Differentialgleichungen 
zu genügen; und die Lösung einer solchen führt, wie an späterer Stelle 
gezeigt werden wird, auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen. 
356. Beispiele. 1. Die Differentialgleichung 
ydx — xdy = 0 
ist nicht exakt; es ist aber leicht, integrierende Faktoren für sie anzu 
geben. Ein solcher ist schon —-, weil er die Trennung der Variablen be- 
r> X y? o 
werkstelligt und die linke Seite in das Differential von l~ verwandelt; 
aber auch --=• und ~ sind integrierende Faktoren, weil sie die linke Seite 
y* X* ö 7 
in das Differential von —, bzw. von 
y 
Jede zwei der drei Faktoren 
—- verwandeln. 
x 
xy 7 y* 7 X 2 
geben zum Quotienten eine Funktion von —, weshalb 
i - C 
X 
das allgemeine Integral jener Gleichung in seiner einfachsten Form ist. 
2. Auch die Differentialgleichung 
(y — x)dy + ydx>= 0 
ist nicht exakt; sondert man von dem exakten Teile ydy den nicht exak 
ten ydx —xdy ab, so kann für diesen allein jeder der vorhin angegebenen 
Faktoren —, - 1 * verwendet werden; für die ganze Gleichung aber 
xy 7 Xy a ; o o 
nur der letzte, weil er von y allein abhängt; er verwandelt die linke Seite 
in das Differential von ly -f- —, mithin ist 
ly + - = C 
J y 
das allgemeine Integral der vorgelegten Gleichung. 
3. Um einen allgemeinen Fall vorzuführen, soll gezeigt werden, daß 
sich zu jeder homogenen Differentialgleichung ein integrierender Faktor 
unmittelbar angeben läßt. 
Sei Mdx + Ndy = 0 
eine homogene Differentialgleichung (351); da identisch gilt: