233. (irundformeln der Integralrechnung 
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Man kann indessen die beiden Formeln (2) und (2*) in eine zusam 
menfassen, die für jedes Intervall angewendet werden kann, das die Null 
nicht enthält, nämlich i* dx 1 7/ . n 
J t - + a 
Sind demnach a, b zwei positive oder zwei negative Zahlen, so gibt 
die Anwendung von (2), bzw. (2*) beidemal 
0 
f 
dx 
x 
l 
wären a, b entgegengesetzt bezeichnet, so verriete schon das imaginäre 
Resultat die Unzulässigkeit der Formel. In der Tat wird die Funktion 
~ in einem solchen Intervalle (a, b) unstetig, nämlich an der Stelle x = 0, 
und erfüllt nicht die Bedingungen der Integrabilität. 
Die Formel (2), welche den Ausnahmefall von (1) erledigt, läßt sich 
jedoch auch in diese Formel einfügen; nach (1) ist nämlich 
/ 
x n dx 
‘Yl -f> 1 
— 1 
n-f- 1 
betrachtet man in dem Resultat x als fest und n als variabel, so kommt 
(109, (2)) 
lim 
7t = — 1 
7t -f 1 
n-f-1 
Ix 
und das ist laut (2) tatsächlich der für n 
tegrals. 
3. Aus den Formeln d arctg x — , 
1 "T 
dx 
dx 
x‘ 
I 
I 
— arctg x + C 
= — arccotga: -j- 6 T ; 
l -}— 
dx 
1 -j- x 
die Formeln widersprechen einander nicht, weil 
Tt 
"2 
1 geltende Wert des In- 
d(— arccotgx) folgt: 
(3) 
arctg x + arccotg x 
Statt der Hauptwerte der zyklometrischen Funktionen kann man 
auch jeden aus den allgemeinen Funktionen 
Arctg x = n 7t -f- arctg x 
Arccotg x — nit + arccotg x 
durch Spezialisierung des n hervorgehenden Zweig in (3) einsetzen.