367. Lineare Differentialgleichung 
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McJx -f Ndy 
- \ j (Mx + Ny) (^ + y) + ( Mx - N V) (t 
so ist 
M dx-\- Ndy 1 1 Mx Ny 77 y _ 
Jfaj-fJVt, “ 2 at{ ^y) 2 Mit: + IVty * ’ 
weil nun Zähler und Nenner des Bruches 
Mx — Ny 
Mx -f Ny 
homogen sind von 
gleichem Grade, so läßt er sich als Funktion von — u darstellen, so daß 
s > x ' 
Mdx + Ndy 
Mx -)- Ny 
— y dl{xy) — <p(u) ^; 
mithin verwandelt der Faktor die linke Seite der Differential- 
Mx -\- Ny 
gleichung in ein Aggregat exakter Differentiale, ist also ein integrieren 
der Faktor derselben. 
Der Faktor wird illusorisch, wenn Mx + Ny = 0. Man erledige 
diesen Sonderfall. 
Ist die vorgelegte Gleichung homogen und exakt, so hat sie neben 
dem integrierenden Faktor auc ^ den Faktor 1, folglich ist dann 
Mx + Ny = C ihr Integral. Dies trifft beispielsweise bei der Gleichung 
(ax + ßy)dx 4- (ßx 4- yy)dy = 0 
zu, ihr Integral ist somit 
ax 2 -f 2ßxy 4- yy 2 = G. 
Die Gleichung (xy-f y*)dx — (x 2 — xy)dy = 0 mittels eines inte 
grierenden Faktors zu integrieren. 
357. L ineare Differentialgleichungen. Eine Differentialglei 
chung, welche in bezug auf die zu bestimmende Funktion und ihren 
Differentialquotienten vom ersten Grade ist und auch das Produkt der 
beiden nicht enthält, heißt eine lineare Differentialgleichung. Ihre allge 
meinste F orm M ' -\-p 1 y = q ) 
worin p 0)Pl , g Funktionen von x oder Konstanten bedeuten, kann durch 
Division durch p 0 vereinfacht werden, wobei jedoch, wenn p 0 eine Funk 
tion von x ist, solche Stellen ausgeschlossen werden müssen, an welchen 
p 0 — 0 ist; schreibt man dann für —, — kurz P, Q. so ergibt sich die 
Po Po 
übliche Schreibweise der linearen Gleichung: