384 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
a) 
in der P, $ wiederum Funktionen von x oder Konstanten bedeuten. 
Nach Multiplikation mit dx ist der Teil Qdx ein exaktes Differen 
tial, der nicht exakte Teil dy -f- Pydx 
hat aber augenscheinlich den integrierenden Faktor ■—, weil durch dessen 
Anwendung die Variablen getrennt werden und der Ausdruck sich in 
das exakte Differential von , r* , 
ly + J Pdx 
verwandelt; die Differentialgleichung 
dy Pydx = 
wird also durch -/pax 
y = e 
befriedigt; ihr integrierender Faktor 
0 
fPdx 
= G 
ist, da er nur von x abhängt, auch ein Faktor der ganzen Gleichung. 
Durch seine Anwendung verwandelt sich (1) in 
r f’Pdxl 
dlye J 
fPdx 
Qe dx 
und daraus folgt das allgemeine Integral 
-fPdc 
fPdx 
y = e ! C+J*Qe dx 
(2) 
Ohne auf den integrierenden Faktor einzugehen, kann man dieses 
Resultat auch auf folgende Weise entwickeln. Betrachtet man y als Pro 
dukt zweier unbekannten Funktionen u, v von x 1 ), setzt also 
woraus 
so lautet die Gleichung: 
dy 
dx 
y = UV, 
du . dv 
- -j— V -j- U 7 3 , 
dx dx 
(du . n \ . dv 
kü + Ptt r + u di-Q-’ 
1) Der dieser Substitution zugrunde liegende Gedanke ist zuerst von Johann 
Bernoulli (1697) angegeben worden.