388 V. Abschnitt. § 2. integrationsmethoden Für Differentialgleichungen 
Д — n 
(n — 1 )fPdx 
{C .4* t / C 
(1 — n)fPdx 
dx 
(4) 
= (1 — n)e 
ihr allgemeines Integral. 
Als Beispiel diene die Gleichung 
äj[ = 1 
dx xy -f- ’ 
nicht in dieser, aber in der reziproken Gestalt 
CG o n 
jy ~ v x = y x 
stellt sie sich als eine Bernoullische Gleichung mit der abhängigen 
Variablen x dar und gibt nach dem erklärten Vorgänge das Integral 
* 
r / /* r 
' 2 {C + life* 
e*dy\, 
in endgültiger Form 
= 2 
f 
• _r 
Ce 2 . 
5. Die Riccatische Differentialgleichung. Im Anschlüsse an 
die Bemerkung, die über das Auftreten der Konstanten in dem Integral 
einer linearen Differentialgleichung gemacht worden ist, stellen wir uns 
die Frage nach der allgemeinen Form jener Differentialgleichung, deren 
Integral in der expliziten Form geschrieben in bezug auf die Konstante 
linear gebrochen, also nach dem Schema 
Ccp 
,J " BiPF* 
zusammengesetzt ist, worin cp, ф, cp t , ф х Funktionen von x bedeuten. 
Schreibt man die Gleichung in der Gestalt 
С(?Р\У ~ <P) + Ф Х У “ i' = o 
und differentiiert, wodurch 
C((Pi У + <p x y — <p) + Ф\ У + ФхУ' 
entsteht, so ergibt die Elimination von C: 
\<РхУ ~<P ф х у — ф 
! 4>\у + м' — <р' t'iУ + tiу' — ! 
und die Ausführung der Determinante liefert: 
у'=Ру*+ Qy + R, 
ф' = 0 
= 0 
worm 
(5)