359. Differentialgleichungen erster Ordnung zweiten und höheren Grades 389 
p _ y'i — q = «Pi V' ~ + 9 ty'i — Ti ^ p == <?> — 
* Vity-Wi ’ 
lediglich Funktionen von x sind. 
Eine Gleichung von der Form (5) nennt man nach dem Urheber eine 
Biccatische Differentialgleichung. Ihre Lösung läßt sich im allgemeinen 
nicht auf Quadraturen zurückführen. 
Kennt man aber ein partikuläres Integral, d. h. eine Funktion y\ von x, 
die ihr genügt, so daß P^ 2 -f Q v + B, (6) 
dann läßt sich die Gleichung auf eine Bernoullische reduzieren und so 
mit durch Quadraturen lösen; denn setzt man 
y = rj + z, woraus y — rf -f- /, so wird aus (5) 
y -M'= Py 2 + Qy + B + P(2tiz + z*) + Qa, 
also mit Rücksicht auf (6) 
s'-(ßPri+ = 
und das ist eine Bernoullische Gleichung mit der unbekannten Funktion z. 
6. Zu lösen die Differentialgleichungen: 
a) ay -f- by — c sin ax; 
(Lösung: y — Ge a + j^=== sin(ax — ß), wenn ß = arctg - fe - ). 
b) ?/' cos # -f y sin x — 1; 
(Lösung: y — sin ¿r -f- (7 cos x). 
c) %y— a|/ 8 =* + l; 
(Lösung: \ß =■= Ge ax — 1 — ^ • 
359. Differentialgl eichungen erster Ordnung zweiten und 
höheren Grades. Yon allgemeinerem Charakter sind die Differential 
gleichungen von der Form f(x, y, ij) = 0, die nicht eine eindeutige Lösung 
nach y f zulassen. Unter diesen interessieren hauptsächlich diejenigen, die 
in bezug auf y algebraisch sind, aber von höherem als dem ersten Grade. 
Der einfachste Fall ist der einer Differentialgleichung erster Ordnung 
zweiten Grades; ihre allgemeine Form lautet: 
Ly 2 + 2My + N = 0; (1) 
die Koeffizienten Z, M, N sollen eindeutige Funktionen von x, y sein.