392 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
die Integration liefert weiter 
Y~y ì Y x — i Y '@ 5 • 
nach Fortschaffung der zweideutigen Symbole ergibt sich 
(x — yY — 2C(x + y) 4- C' 2 = 0, 
und dies hat tatsächlich die Form (2). Weil die Gliedergruppe zweiten 
Grades ein vollständiges Quadrat bildet, so sind die Integralkurven Pa 
rabeln; sie berühren beide Koordinatenachsen in gleicher Entfernung 
(= G) vom Ursprünge. Jede Gleichung, wie Yy + Y x ~ Y@ mit bestimm 
ten Zeichen der Wurzeln, stellt nur bestimmte Abschnitte der Parabeln dar. 
Auch bei einer Differentialgleichung erster' Ordnung «-ten Grades 
(n > 2) kommt es darauf an, ob es unter den Auflösungen nach y auch 
rationale Lösungen gibt oder ob alle Lösungen irrational (im weiteren 
Sinne) sind; im ersten Falle zerfällt das Integralsystem in mehrere Kurven 
scharen, im zweiten ist es nur eine die Ebene im allgemeinen «-fach be 
deckende Kurvenschar. 
360. Beispiele. 1. Die Gleichung 
Or 2 + 1)/ 2 =1 
gibt die Auflösung u = —— 
8 B y y**+i 
und das Integral y + IC =l(x± V^fl) ; 
schreibt man dafür Ge y = x -(- Y x% + 1 
und schafft die Quadratwurzel weg, so erscheint das allgemeine Integral 
in der Gestalt (2), nämlich * 
C*e 2y - 2Gxe* — 1 = 0. 
2. Es sind Kurven zu bestimmen, deren begrenzte Tangente kon 
stant und = a ist. 
Die Differentialgleichung jeder solchen Kurve lautet: 
14*+(F- 
und gibt y = —. 
l/«*~ sr*’ 
trennt man die Variablen und integriert, so erhält man zunächst