396 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
I. Eine Differentialgleichung, die (außer Konstanten) y' allein enthält, 
also die allgemeine Form fiy) = 0 (1) 
besitzt, definiert Linienelemente, deren Richtungskoeffizienten die Wurzeln 
der Gleichung (1) sind; durch jeden Punkt der Ebene gehen so viele Linien 
elemente, als es reelle Wurzeln gibt. Ist a eine solche, so ist jede Gerade 
y = ax + C eine Integralkurve der Gleichung; man kann also die Ge 
samtheit der Lösungen durch 
(2) 
darstellen. 
II. Enthält die Gleichung y nicht, lautet sie also 
f(x, p) = 0 ■ 
so bedarf der Fall, wo sie sich nach p auflösen läßt, keiner weiteren Er 
läuterung. Kann sie hingegen nur nach x gelöst, also in die Form 
(3*) 
x 
gebracht werden, so differentiiere'man sie und ersetze dx durch das gleich 
wertige ~~; dadurch entsteht dy — pg>' (p)dp 
und durch Integration weiter 
(4) 
Ist die Integration vollzogen, so hat man in (3*) und (4) eine para 
metrische Darstellung der Integralkurven. Läßt sich p eliminieren, so 
kann man dem Integral auch die Form F(x } y,C) = 0 geben. 
III. Erscheint x in der Gleichung nicht explizit, so suche man 
f(y,p) - 0, 
№ 
wenn es sich nicht - nach p leicht auflösen läßt, nach y zu lösen: 
y = t(p), 
(5*) 
differentiiere und ersetze dy durch das gleichwertige pdx\ nach Trennung 
der Variablen und Integration erhält man dann 
(6) 
und hat schließlich zwischen (5*), (6) p zu eliminieren. 
IV. Einen ähnlichen Weg kann man einschlagen, wenn eine Diffe 
rentialgleichung, die beide Variablen enthält, wie