400 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
der auch die Geraden x — a — 0, y = ~ x -f- 4- a 
als partikuläre Losungen (C = 0) angehören, zugleich die Asymptoten 
jener Hyperbelschar. 
Die Lösung von 1 — p = p, d. i. p = y, führt auf die zweite dieser 
Geraden; die erste ergibt sich auf diesem Wege nicht, in der vollständigen 
Lösung aber ist sie als partituläres Integral, entsprechend C=oo, enthalten. 
2. Die von der vorigen nur wenig verschiedene Gleichung 
y = (1 + p)x +pa 
zeigt folgendes Verhalten. Aus 1 -J- p=p folgt == oo und hiermit er 
gibt sich x _j_ a _ o als gradliniges Integral. 
Weiter erhält man durch Differentiation die neue Gleichung 
dx + (x 4- d)dp = 0 
mit dem Integral l(x -f ä) p — C 
und durch Elimination von p ergibt sich schließlich: 
y — x -f {x -f a)\C — l(x -f aj\. 
In diesem allgemeinen Integral ist auch die obige Gerade als parti 
kuläre Lösung, entsprechend G = oo, mit enthalten. 
Die beiden vorgeführten Differentialgleichungen lassen sich auch als 
lineare behandeln. 
3. Die Differentialgleichung 
yp 2 4- %xp — y = 0 
in der Form y = ------ a? 
^ l —p* 
geschrieben, führt bei der eben erklärten Behandlung auf die lineare 
Differentialgleichung dcc 2x _ ~ 
dp p (1 — p *) ~~ ’ 
in welcher sich aber die Variablen unmittelbar trennen lassen; man er 
hält danach durch Integration p*x _ q 
* i-p*~ • 
Eliminiert man zwischen dieser und der gegebenen Gleichung p, so 
ergibt sich y%= 4C 4C 2 
oder mit C = - y 2 = 2e# 4- c 2 
als allgemeines Integral, das ein System konfokaler Parabeln um den Ur 
sprung als gemeinsamen Brennpunkt darstellt.