366. Singuläre Linienelemeute und singuläre Lösungen 
409 
1. Durch, den Träger gehen zwei verschiedene Integralkurven und 
berühren sich daselbst. 
2. In dem Träger treffen zwei Äste einer und derselben Integralkurve 
zusammen und haben dort dieselbe Gerade zur Tangente, die Kurve selbst 
besitzt also eine Spitze in dem betreffenden Punkte. 
3. Durch den Träger gehen zwei unendlich benachbarte Integral 
kurven einander berührend hindurch. 
Ein Ort von Trägern der dritten Art hat immer die Eigenschaft, 
daß seine Linienelemente zugleich Linienelemente von Integralkurven sind, 
mithin der Differentialgleichung genügen; er ist somit selbst eine Integral 
kurve dieser Gleichung, aber eine solche von besonderer Art. Seine Stel 
lung zu den Integralkurven drückt sich darin aus, daß er ihre Einhüllende 
bildet. In der Tat, besitzt das System der Integralkurven eine Einhüllende, 
so berühren sich in jedem ihrer Punkte zwei unendlich benachbarte In 
dividuen und erzeugen dort ein singuläres Linienelement, das zugleich 
Linienelement der Einhüllenden ist. 
Bei Orten von Trägern der ersten und zweiten Art findet ein solches 
Verhalten im allgemeinen nicht statt, sie sind also in der Regel keine 
Integralkurven. Wir setzen fest: 
Ein Ort von Trägern singulärer Linienelemente der Differentialglei 
chung fix, y, y) = 0, dem diese Linienelemente selbst angehören, der also 
die Differentialgleichung befriedigt, soll als eine singuläre Lösung der Glei 
chung bezeichnet werden. 
Diese Definition umfaßt auch andere Beziehungen der Integralkurven 
zur singulären Lösung außer der bereits angeführten, wonach die singu 
läre Lösung als Einhüllende der partikulären Lösungen erscheint. 
Eine Schar singulärer Linienelemente führt also nur unter einer ge 
wissen Voraussetzung zu einer singulären Lösung, die wir soeben in geo 
metrischer Ausdrucksweise kennen gelernt haben; es handelt sich jetzt 
um deren analytische Formulierung. 
Soll der aus dem Gleichungspaar (2) durch Elimination von y her 
vorgehende Punktort eine singuläre Lösung sein, so muß der Richtungs 
koeffizient seiner Tangente im Punkte x/y übereinstimmen mit jenem y, 
das die Gleichungen (2) für dieses Wertepaar x/y zur gemeinsamen 
Wurzel haben. 
Nun kann die Gleichung f(x, y, y) = 0 auch als Gleichung des