410 V. Abschnitt. § 8. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
Punktortes gelten, wenn man darin y' aus — 0 ersetzt; diffe- 
rentiiert man sie unter diesem Gesichtspunkt, so entsteht 
0: 
df . dfäy_ , df_ rdy' dy äy_-\ 
"r 2„, dy'Ldx' dy dxJ 
dx 1 dy dx 
die linke Seite reduziert sich aber, eben wegen = 0, auf die beiden 
dy 
ersten Glieder, und drückt man die Bedingung - = y' darin aus 1 ), so 
entsteht df . df , A , . 
ö—r -ö—# — U (4) 
ÜX oy v ' ' 
als Bedingung dafür, daß der aus'(2) abgeleitete Punktort eine singuläre 
Lösung sei. Man kann das Ergebnis so aussprechen: 
Der aus den Gleich ungen * 
f{%, y, y) = o, dt ^y l) = o 
durch Elimination von y abgeleitete Punktort ist nur dann eine singuläre 
Lösung der Differentialgleichung f(ce, y, ff) => 0, wenn seine Punkte auch 
die Gleichung df , df 
d.x dy y 
0 
erfüllen; mit anderen Worten: eine Gleichung zwischen x, y ist nur dann 
eine singuläre Lösung der genannten Differentialgleichung, wenn für alle 
aus ihr hervorgehenden Wertverbindungen xfy die drei Gleichungen 
f = o 1L = o ~~ 4-Ll v ' — o 
1 ’ dy' ’ dx^dy y 
eine gemeinsame Wurzel ff besitzen. 
367. Bestimmung der singulären Lösung aus der Differen 
tialgleichung. Das Verfahren, etwa vorhandene singuläre Lösungen 
der Differentialgleichung y, y') = 0 
zu bestimmen, wird sonach in folgendem bestehen. 
Man stellt durch Elimination von ff zwischen 
f=° w 
die Diskrimantengleichung D =■ Ö 
0 
(1) 
(2) 
(3) 
dy 
1) In dieser Betrachtung bedeuten ™ und ff zwei begrifflich verschiedene 
Größen.