868. Bestimmung der singulären Lösung aus der Differentialgleichung 411 
her und zerlegt D in seine einfachsten Faktoren, sofern eine Zerlegung 
überhaupt möglich ist. Sodann prüft man die jedem Faktor <p{x, y) ent 
sprechende Teilgleichung <p(x,y) = 0 (4) 
darauf, ob sie der Differentialgleichung genügt, d. h. ob das aus (4) als 
Funktion von x berechnete y und y die Gleichung (1) identisch befriedigt. 
Nur in diesem Falle ist (4) eine singuläre Lösung. In anderm Falle ist es 
entweder ein Ort von Spitzen der partikulären Lösungen oder von Punkten, 
in welchen verschiedene Integralkurven einander berühren 5 ob das eine 
oder das andere zutrifft, erfordert jedesmal eine besondere Untersuchung. 
368. Bestimmung der. singulären Lösung aus dem allge 
meinen Integral. Zu der Differentialgleichung 
/’O; V, V) — 0 (!) 
gehöre das allgemeine Integral 
F(x, y, C) - 0. (2) 
Dieses umfaßt die nämlichen oo 2 Linienelemente, welche durch die Diffe 
rentialgleichung definiert sind, ordnet sie aber, indem es sie zu Kurven, 
den partikulären Integralkurven, vereinigt. 
Es bietet sich zunächst die Frage dar, wie man von dem allgemei 
nen Integral her zur Kenntnis der singulären Linienelemente gelangen 
kann. Die Erledigung ergibt sich durch Zurückgreifen auf die Differential 
gleichung. Man erhält diese aus (2) durch Elimination von G zwischen 
F(x, y, C) = 0, 
kann sich also unter 
dF{x,y,C) d F(x, y, G) , _ 
~JoT~ + dy y 
F{x f y, C) = 0 
schon die Differentialgleichung vorstellen, wenn man C durch den aus 
0 - (3) 
cF oF , 
+ dy y 
dx 
gezogenen Wert ersetzt denkt. Unter diesem Gesichtspunkte ergeben 
sich die Träger der singulären Linienelemente durch Elimination von y 
aus den Gleichungen 
F{x,y,G)- 0, 11^3. |g. _ 0: 
dy 
de 
nun kann -ßy' nicht beständig Null sein; denn das hieße, C ergebe sich 
dF 
aus (3) als unabhängig von y, was wieder = 0 als beständig geltend