412 Y. Abschnitt. § 3. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
voraussetzen würde; dann aber enthielte (2) y nicht und würde somit 
den belanglosen Fall einer Schar zur «/-Achse paralleler Geraden be 
deuten. Somit führen die vorstehenden Gleichungen zu 
F{x, y, C) - 0, 
d F(x, y, C) _ n 
dC 
(4) 
aus welchen y zu eliminieren wäre. Eliminiert man statt dessen C, wo 
durch tatsächlich auch y eliminiert ist, so erhält man eine Gleichung 
4(x,y) = 0, (5) 
die als Diskriminantengleichung der Integralgleichung zu bezeichnen sein 
wird, die wohl sicher die Träger aller singulären Linienelemente in sich 
schließt, wenn solche vorhanden sind, aber ganz wohl darüber hinaus 
gehen kann, weil im allgemeinen die Elimination über y hinausgeht. Es 
wird also der Diskriminantenort (5) der Integralgleichung im allgemei 
nen nicht übereinstimmen mit dem früher betrachteten Diskriminanten 
ort D(x, y) = 0 der Differentialgleichung. 
Um über die Stellung des neuen Diskriminantenorts zu den Integral 
kurven Aufschluß zu erlangen, muß auf die Bedeutung der Gleichung (5) 
eingegangen werden; sie bestimmt solche Punkte xjy, für welche die 
Gleichung (2) als Gleichung in' C aufgefaßt mehrfache Wurzeln liefert. 
Indem wir uns wieder auf Doppelwurzeln beschränken, sind folgende 
Fälle denkbar: 
1. Durch den Träger geht eine und dieselbe Integralkurve zweimal 
und durchschneidet sich dort, so daß der Träger ein Knotenpunkt ist. 
2. Durch den Träger geht eine und dieselbe Integralkurve zweimal, 
indem sie eine Spitze bildet. 
3. Der Träger ist der letzte Schnitt zweier unendlich benachbarten 
Integralkurven. 
Nur in dem dritten Falle ist der Ort der Träger immer so beschaffen, 
daß ihm die singulären Linienelemente angehören, daß er somit der Diffe 
rentialgleichung genügt; denn der Ort der letzten Schnitte benachbarter 
Individuen aus einer einfach unendlichen Kurvenschar ist deren Einhül 
lende und diese hat mit den eingehüllten Kurven an den erwähnten Stellen 
gemeinsame Tangenten. In der Tat stimmt der im vorstehenden mit der 
Gleichung (2) ausgeführte Prozeß mit jenem Verfahren überein, das zur 
Bestimmung der Einhüllenden eines einfach unendlichen Kurvensystems 
führt (168).