414 V. Abschnitt. § 3. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
F = o, |f-0, . (2.) 
die den Gleichungen (4) des vorigen Artikels entsprechen, jene Kurve, 
längs welcher die Fläche von dem ihr parallel zur z- Achse umschriebe 
nen Zylinder berührt wird, ihre Umrißlinie in bezug auf die xy-Ebene 
(190, 6.). 
Bei allgemeiner Lage dieser Umrißlinie wird diese von den Schichten 
linien (reell oder imaginär) geschnitten, und da in einem solchen Schnitt 
punkte sowohl die Tangente der Umrißlinie als auch die Tangente der 
Schichtenlinie in der zugehörigen Tangentialebene des berührenden Zy 
linders liegt, so berühren die Integralkurven die Projektion der Umriß 
linie, d. h. die Umrißlinie gibt in der Projektion die Einhüllende det' In 
tegralkurven, somit eine singuläre Lösung. 
Dies die einfachste und zugleich die normale Form des Zusammen 
hangs. 
Ein besonderer Fall ergibt sich, wenn die Umrißlinie selbst horizon 
tal liegt. Dann zählt ihre Projektion eben wegen dieser Lage zu den par 
tikulären Lösungen, verliert aber den Charakter der singulären Lösung 
nicht, weil ihre Tangenten doppelt zählen, da sie als gemeinsame Grenz 
kurve der beiden Scharen von Integralkurven anzusehen ist, welche den 
Schichtenlinien über und unter der Umrißlinie entsprechen. Es tritt unter 
diesen Umständen der Fall ein, daß eine Kurve zugleich partikuläre und 
singuläre Lösung ist und in letzterer Eigenschaft als Grenzkurve der Inte 
gralkurven erscheint. 
Nun wenden wir uns der Besprechung solcher Fälle zu, wo die 
Fläche (1) linienförmige Singularitäten aufweist; von solchen sollen die 
Knotenlinie als Selbstdurchschnitt der Fläche und die Bückkehrkante als 
Selbstberührungslinie der Fläche ins Auge gefaßt werden, entsprechend 
dem Knotenpunkt und Rückkehrpunkt einer ebenen Kurve (164). 
Wenn die Knotenlinie, bzw. die Rückkehrkante allgemeine Lage be 
sitzt, so weisen die Schichtenlinien längs ihr Knoten-, bzw. Rückkehr 
punkte auf, und da sich diese Erscheinungen auf die Projektion über 
tragen, so kommen wir zu Integralsystemen mit Orten von Knotenpunkten 
bzw. Spitzen. 
Anders jedoch, wenn die Knotenlinie oder die Rückkehrkante hori 
zontal liegt; dann gehört ihre Projektion eben wegen dieser Lage zu den 
partikulären Integralen, erhält aber zugleich den Charakter einer singu-