371. Beispiele 
417 
! =0 
| Ad 2 x + Bd 2 y dB \ 
folgt; dies aber reduziert sieb, wenn man B 4=0 voraussetzt (was even 
tuell durch Änderung des Koordinatensystems immer erzielt werden kann), 
au f Ad 2 x -f- Bd 2 y = 0; (8) 
aus (4) und (8) folgt aber 
dxd 2 y — dyd 2 x = 0. 
Mithin sind es die Wendepunkte, deren Tangenten zur Einhüllenden-ge 
hören, allgemeiner gesprochen, die Punkte mit einer superoskulierenden 
Geraden. 
Die Diskriminantengleichung D = 0 der Clairautschen Differential 
gleichung umfaßt also die eigentliche Einhüllende der Integrallinien nebst 
deren superoskulierenden Tangenten, und diese Gebilde zusammen machen 
die singuläre Lösung aus; die erwähnten Tangenten sind partikulär und 
singulär zugleich. 
Was die Fläche y — zx + f{ß) 
anlangt, die dem allgemeinen Integral entspricht, so ist es in diesem Falle 
eine windschiefe Regelfläche mit der xy-Ebene als Richtebene, ihre Er 
zeugenden schneiden die Kurve 
V — ex + f(t0, 0 = x + f(8) 
und berühren den sie projizierenden Zylinder. 
‘371. Beispiele. 1 ) 1. Die homogene Differentialgleichung 
xy' 2 — 2yy + ax = 0, (a > 0) 
nach dem in 359 und 351 erläuterten Verfahren behandelt, gibt das all 
gemeine Integral # 2 — 2 cy + ac 2 — 0. 
Hier ist D = A = y 2 — ax 2 , und man könnte schon aus dem Um 
stande, daß die Integralkurven als Parabeln singularitätenfrei sind, schließen, 
daß ^2 — ax 2 — 0 
eine singuläre Lösung ist. Analytisch wird dies dadurch bestätigt, daß 
y 2 = ax 2 und yy = ax die Differentialgleichung identisch befriedigen. 
1) Die vorgeführten Beispiele gehören zum Teil zu den klassisch gewordenen 
Fällen, einige sind der zum vorigen Artikel zitierten Abhandlung W. v. Dycks 
entnommen; die Wahl ist so getroffen, daß alle wichtigeren Erscheinungen zur 
Sprache kommen. 
Ca ui) er, Vorleaungen. II. 4. Aufl. 
27