418 V Abschnitt. § 3. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
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I, 
Fig. 229. 
Das allgemeine Integral repräsentiert eine Schar von Parabeln, die 
singuläre Lösung, aus zwei Geraden bestehend, ist deren Einhüllende 
(Fig 229). 
Allgemein kann folgendes bemerkt werden. Eine homogene Glei 
chung, da sie ein bezüglich des Ursprungs perspek- 
tives System definiert, kann zur singulären Lösung 
nur (reelle oder imaginäre) Gerade durch den Ur 
sprung haben. Man erhält diese, indem man in der 
Gleichung y durch — ersetzt. 
ö a x 
2. Die homogene Differentialgleichung 
yy' 2 + 2xy'—y = 0 
gibt bei Anwendung des letzterwähnten Verfahrens 
x 2 + y* = 0 
als Gleichung der singulären Lösung. Der Trägerort 
der singulären Linienelemente ist der Ursprung, und es sind alle durch 
ihn gelegten Linienelemente singulär, weil die Differentialgleichung durch 
x = 0, y = 0 bei jedem Wert von y befriedigt ist. 
Wie ist nun dieser isolierte Punkt zu deuten? Das 
allgemeine Integral 
y- = 2 cx -f e 2 
stellt ein System von konfokalen Parabeln um den 
Ursprung als Brennpunkt dar; der Brennpunkt einer 
Parabel aber ist analytisch als Nullkreis gekenn 
zeichnet, der mit ihr in imaginärer Doppelberührung 
steht; somit bildet er die Einhüllende des Parabel 
systems. 
Die yorgelegte Differentialgleichung hat also zur 
vollständigen Lösung eine Schar homofokaler Parabeln und das Büschel 
der Linienelemente durch den Ursprung (Fig. 230). 1 ) 
1) Als Seitenstück zu diesem Falle, wo also eine isolierte punktförmige sin 
guläre Lösung mit einem Büschel von Linienelementen auftritt, sei die Differen 
tialgleichung y'* + y* — 0 
angeführt. Ihre einzige reelle Lösung ist y — 0, ihre einzige Integralkurve also die 
x-Achse, und zwar partikulär und singulär zugleich, letzteres, weil durch jeden 
ihrer Punkte zwei vereinigt liegende in sie selbst fallende Linienelemente hin 
durchgehen. 
Y 
-Y 
X \ 
i 
I 
Fig. 280.