371. Beispiele 
419 
^eln, die 
füllende 
°g«ae Glei- 
; s perspek- 
Losung 
^ den Ur- 
man in der 
ing 
' Fahrens 
sf Tragerort 
d alle durch 
ihung durch 
iatea? Das 
m am den 
ptt einer 
■eis gekenn- 
elberöhrong 
des Parabel- 
hat also zur 
das Büschel 
¡tfömige sin- 
die Differen- 
pave also die 
d durch jeden 
e !emente hin- 
3. Die Differentialgleichung 
y' 2 + 2xtf 
y-o 
gehört zu dem Typus 363; durch Differentiation erhält man die in x, y 
homogene Gleichung 2 (x + y) dy + y'dx = 0, 
ihr Integral ist %y 3 + 3xy' 2 = c; 
Elimination von y zwischen dieser und der gegebenen Gleichung führt 
schließlich auf (3 xy + 2 x 3 + cf - 4(a 2 + y)* = 0. 
Hier ist nun D = x 2 + y, A = (x 2 + y) s j 
die gemeinsame Teilgleichung x 2 + y = 0, die 2x -f- y — 0 zur Folge hat, 
genügt der Differentialgleichung nicht und kann nach der Sachlage nur 
einen Ort von Spitzen darstellen; dies stimmt auch zu dem Umstande, 
daß die Integralgleichung durch reelle x, y nur dann befriedigt werden 
kann, wenn x 2 + y> 0, woraus hervorgeht, daß die Integralkurven — 
Linien 6. Ordnung — nur zu einer Seite der Parabel x 2 + y = 0 ange 
ordnet sind. Die Differentialgleichung ergibt für die Punkte dieser Pa 
rabel die Doppelwurzel y = — x, somit hat das singuläre Linienelement 
die Gleichung r) + x 2 = — #(| — x) d. i. rj = — x% } es geht also jedesmal 
durch den Ursprung (Fig. 231). 
4. Zu der Parabelschar 
y =* c{cc — c) 2 
gehört die Differentialgleichung 
y' 3 — 4 yy + 8i/ 2 = 0. 
Hier ist 
Z) = lQi/(21y — 4zc 3 ), A = y(21y — 4# 3 ). 
Die gemeinsamen Teilgleichungen 
y — 0, 27 t/ —4# 3 =0 
mit ihren Folgerungen 
y — 0, 9 y — 4# 2 = 0 
befriedigen die Differentialgleichung identisch, bestimmen also singuläre 
Lösungen. Über ihre Beziehung zu den Integralkurven gibt folgende Er 
wägung Aufschluß. 
Die Integralkurven sind Parabeln, deren Scheitel in der x-Achse, 
deren Brennpunkte auf der Hyperbel =y liegen und deren Achsen 
27*