424 V. Abschnitt. § 3. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
sind; die eine davon ist horizontal und tritt somit als Grenzkurve der 
Schichtenlinien auf, die andere ist geneigt und hüllt daher in der Pro 
jektion die Schichtenlinien ein. 
8. Zu der Kurvengleichung y — ~ x s 
gehört die Clair aut sehe Differentialgleichung (374) (in rationaler Form) 
(V - y'\ 
Verbindet man mit dieser, 
zum Zwecke der Diskriminanten 
bildung, die nach y' abgeleitete 
— 2x(y — xy) 3y' 2 
und eliminiert zunächst y' a , so 
kommt man zu der Gleichung 
(y ~ %y)(ßy — xy) = 0; 
diese wird einmal durch 
3 y — xy = 0 
befriedigt, und vollzieht man die Elimination von y', so ergibt sich 
y*(21y — 4# 8 ) = 0; 
dies zerfällt in die Kurve y = ~ x z , von der ausgegangen war, und in die 
doppelt zählende Gerade y = 0, die in der Tat die Wendetangente der 
Kurve ist. 
Die andere Annahme y — xy = 0 
führt auf i/' 3 = 0 und weiter zu y= 0, als Ort der Träger, in welchen 
drei Linienelemente von der Richtung des Ortes selbst vereinigt liegen. 
Der Sachverhalt ist also der folgende: Die Tangenten der Kurve 
y*= bedecken die Ebene teils ein-, teils dreifach; die Grenze der Ge- 
£< < 
biete wird durch die Kurve selbst und ihre Wendetangente gebildet; an 
dieser Grenze findet noch dreifache Bedeckung statt, jedoch so, daß längs 
der Kurve zwei, längs der Wendetangente alle drei Tangenten vereinigt 
liegen. 
§ 4. Geometrische Anwendungen. 
372. Trajektorien. Jedes Problem, das eine Kurve durch eine 
Eigenschaft ihrer Tangenten definiert, führt auf eine Differentialgleichung 
1 
i 
1 
1 
y 
ß 7 - 
s 
7 
/ 
/ 
1 
! 
i 
Fig. 285.