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III. Abschnitt. § 2. Erweiterung des Integralbegriffs 
seine Geltung und es muß zu anderen Methoden gegriffen werden. Der 
angeführte Fall tritt besonders dann ein, wenn unter dem Integralzeichen 
eine periodische Funktion erscheint. 
Ein häufig verwendbares Hilfsmittel, über derlei Integrale zu ur 
teilen, besteht darin, daß man das Integrationsintervall durch diejenigen 
Stellen, an welchen f(x) sein Zeichen wechselt, in Teile zerlegt; die auf 
diese Teile bezüglichen Integral werte bilden dann eine unendliche, und 
zwar eine alternierende Reihe (76), und es ist die Untersuchung desin 
tegráis auf die Prüfung dieser Reihe auf ihre Konvergenz zurückgeführt. 
Die Konvergenz kann vermöge der Beträge der Glieder allein stattfinden 
und heißt dann absolut; sie kann aber auch erst kraft des Zeichenwechsels 
vorhanden sein: dann spricht man von bedingter Konvergenz. Diese Be 
griffsbestimmung überträgt man denn auch auflntegrale mit unendlichem 
Integrationsgebiete und unterscheidet zwischen solchen, welche gegen 
ihren Grenzwert absolut konvergieren, d. h. auch dann, wenn man statt 
fix) den absoluten Wert | fix) | in Rechnung zieht, und zwischen solchen, 
welche ihrem Grenzwerte nur bedingt, d. i. kraft des unaufhörlichen 
Zeichenwechsels von fix) zustreben. 
Sowie man die Beurteilung von Integralen mit unendlichem Inter 
vall mitunter mit Erfolg auf die Konvergenz von Reihen stützt, kann 
auch umgekehrt aus der Existenz solcher Integrale auf die Konvergenz 
mancher Reihen geschlossen werden. 
Beispiele. 1. Der Integralsinus auf dem Gebiete (0, -f- oc ). d. i. 
oo 
0 
gehört zu den eben besprochenen Formen; bezüglich seiner unteren 
Grenze ist schon früher (275, 3.) entschieden worden; es bleibt nur noch 
die Zulässigkeit der oberen Grenze in Frage. 
Teilt man (0, -f- oo) in die Intervalle (0, je), (je, 2je), . . ., so bilden 
die auf diese bezüglichen Integralwerte a 0 , a 1 , ... eine alternierende Reihe 
mit positivem Anfangsgliede, und wenn diese Reihe 
a o a i ‘ ‘ ’ 
konvergiert, so hat das Integral einen bestimmten Wert gleich dem Grenz 
wert dieser Reihe. Nun folgt aus