373. Beispiele 427 
373. Beispiele. 1. Die orthogonalen Trajektorien der Parabelschar 
у = ax n 
(Parameter a) zu bestimmen. 
Mit Hilfe von у = nax n ~ l ergibt sich 
ny 
X 
als Differentialgleichung der gegebenen Kurvenschar und daraus 
r x_ 
“ ~ ny 
als Differentialgleichung ihrer orthogonalen Trajektorien. Die Variablen 
lassen sich unmittelbar trennen und die Integration liefert 
X* + mi/ 2 = c. 
Die Trajektorien bilden also eine Schar homothetischer Ellipsen oder* 
Hyperbeln, je nachdem n > 0 oder n < 0. 
2. Die orthogonalen Trajektorien des Kreisbüschels mit den Grund - 
punkten — a/0, aj0 zu bestimmen. 
Aus der endlichen Gleichung dieses Kreisbüschels 
x 2 + y*— 2by — a 2 = 0 
und aus x + yy — b y = 0 
ergibt sich durch Elimination des veränderlichen Parameters b seine 
Differentialgleichung: 
(# 2 — y* — a*)dy — 2 xydx = 0, (a) 
daraus aber entspringt: 
(x? — y 2 — aF)dx + 2 xydy = 0 (ß) 
als Differentialgleichung der orthogonalen 
Trajektorien. Ihre Integration kann auf Grund 
folgender Bemerkung ohne Rechnung voll 
zogen werden: Aus (a) geht (ß) hervor, wenn 
man x mit y vertauscht und das Zeichen von 
a % ändert; durch dieselben Änderungen erhält Fi g . 236. 
man aus der Gleichung des Kreisbüschels diejenige seiner Trajektorien, 
nämlicl1 a 2 + y 2 - 2 b x + a 2 = 0. 
Die Trajektorien bilden also wieder ein Kreisbüschel, das durch die 
imaginären Punkte 0/ — ai und 0/ai hindurchgeht (Fig. 236). 
X