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V. Abschnitt. § 4. Geometrische Anwendungen 
Die Beziehung ist eine gegenseitige: Ein Kreisbüschel mit Grund- 
punkten hat zu orthogonalen Trajektorien ein Kreisbüschel mit Grenz 
punkten (Nullkreisen) und umgekehrt ein Büschel mit Grenzpunkten ein 
solches mit Grundpunkten. Grenz- und Grundpunkte vertauschen ihre 
Bollen gleichzeitig. 
3. Es sind die orthogonalen Trajektorien eines Systems konfokaler 
Zentralkegelschnitte zu bestimmen. 
Die Gleichung eines solchen Systems ist 
x i 1 
X* X* — 
1, 
darin X der veränderliche Parameter. Durch ihre Differentiation ergibt sich 
x yy' 00 +yy' 
* , _yy 
X 2 ^ X* — < 
so daß 
mithin ist 
0; 
*(« + yy) 
daraus folgt 
0» + yy) (a 
... r 
c s —• D 
. _ 1. 
y' 
2 c 2 — X i 
y7(X + yy') 
die Differentialgleichung des vorgelegten Kurvensystems. Da sie sich 
nicht verändert, wenn man y durch — y ersetzt, so gehört sie auch den 
orthogonalen Trajektorien als Differentialgleichung an. 
Ein System homofokaler Zentralkegelschnitte und seine orthogonalen 
Trajektorien sind sonach durch ein und dieselbe Gleichung 
X 2 ^ X s 
1 
dargestellt und somit zu einem einheitlichen System vereinigt. Die Schei 
dung beider wird lediglich durch das Größenverhältnis zwischen dem 
variablen A 2 und dem festen e 2 vollzogen. Bei A 2 > c 2 stellt nämlich die 
Gleichung Ellipsen dar und diese werden von den Hyperbeln, die bei 
A 2 < c 2 sich ergeben, rechtwinklig geschnitten, und umgekehrt. 
4. Die orthogonalen Trajektorien des Systems der Sinusspiralen 
r n = a n sin ncp zu bestimmen 
Durch Differentiation entsteht 
nr fi ~ 
na n cos »cp,