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V. Abschnitt. § 4. Geometrische Anwendungen 
ist. Dies ist nur eine andere Form der ursprünglichen Differentialglei 
chung d(p = 0. Ersetzt man hier r nach Vorschrift von (8) durch 
rr ' 
r "ZT,fc/ > so sich r — hr' — 0 
als Differentialgleichung der Trajektorien. Durch Trennung der Variablen 
und Integration kommt man zunächst auf Ir = IG~~ und schließlich auf 
rC 
JP 
r = Ce k . 
Die isogonalen Trajektorien eines Strahlenbüschels sind demnach 
logarithmische Spiralen (136, 3.). 
6. Die orthogonalen Trajektorien 
a) der Parabelschar y 2 — 2p x\ 
b) der Ellipsenschar 6 2 # 2 -f- a?b 2 bei variablem a; 
c) der Hyperbelschar b*x 2 — a 2 y 2 = a 2 b 2 bei veränderlichem b zu 
bestimmen. 
374. Evolventen. Unter den Evolventen einer gegebenen Kurve 
versteht man die orthogonalen Trajektorien ihrer Tangenten, also alle 
jene Kurven, deren Normalen die gegebene Kurve berühren. 
Es sei y = F{x) (1) 
die gegebene Kurve; ihr entspricht eine Clai raut sehe Differentialglei 
chung, welche das Tangentensystem darstellt. Man erhält sie, indem man 
den Abschnitt der Tangente auf der Ordinatenachse y — xp mit Hilfe 
von (1) und p = F\x) (2) 
als Funktion von p ausdrückt; ist f(p) der betreffende Ausdruck, so ist 
y — xp -f- f(p) (3) 
die das Tangentensystem darstellende Gleichung. Aus ihr entsteht die 
Differentialgleichung der Evolventen von (1), indem p durch — er 
setzt wird; sie lautet also 
ihre allgemeine Form ist daher 
« + yp = t(p) f 
wo ib(p) für pf {— geschrieben ist. 
(4) 
Ehe zur Integration der Gleichung (4) geschritten wird, soll eine 
charakteristische Eigenschaft ihres Integralsystems nachgewiesen werden.