432 
V. Abschnitt. § i. Geometrische Anwendungen 
und nach erfolgter Reduktion in die endgültige Form 
Xi+ViPi^HPi)- ( 4 *) 
Die Gleichung (4) bleibt also bei Anwendung der Dilatation bis auf 
die Bezeichnung der Variablen unverändert. Daraus folgt (348), daß die 
Evolventen einer gegebenen Kurve Parallelkurven sind, daß also aus einer 
von ihnen alle übrigen durch Ausführung aller möglichen Dilatationen 
abgeleitet werden können. 
Was nun die Integration der Gleichung (4) anlangt, so beachte man, 
daß sie zu den in x, y linearen Gleichungen (363) gehört und daher 
nach vorausgegangener Differentiation integriert werden kann. Differen- 
tiiert man also und ersetzt dx durch so entsteht 
P ' 
j + V d.P + päy = 1>'(p)dp 
oder (1 + p*)dy + yp dp — p f' (p) dp; 
in dieser Form hat die Gleichung den integrierenden Faktor ^===r=, der 
die linke Seite in das Differential von y ]/l + p 8 verwandelt. Mithin ist 
1 ( . Pp ip'(p) dp] 
y = -y=r= •! c -f 
j/1+rl 
-1 
J V 1 Ep* ) 
und mit Hilfe dessen ergibt sich aus (4): 
'py>\p)dp 
x==-iy(p) 
]/l-t-p* 
V 1 +p* 
(7) 
(7*) 
Durch (7) und (7*) ist das System der Evolventen parametrisch 
dargestellt. 
375. Beispiele. 1. Um die Evolventen der Parabel 
i/ 2 -f- 4a# = 0 
zu bestimmen, bilde man mit Hilfe von 
yp -j- 2« 0 
ihre Clairautsche Gleichung. Es ist y ==a — —- t daher x = — p, folglich 
y xp = 
2tt a 
7+7 
a 
P 
oder 
a 
y = xp — 
die Differentialgleichung des Tangentensystems; aus dieser ergibt sich