377. Beispiele 
439 
gleiches Verhältnis: da jedoch sein Nenner =■= 0 ist, muß es der Zähler 
auch sein; aus adx -j- ßdy + ydz = 0 folgt aber 
ux + ßy + yz “ a ■ (A) 
In gleicher Weise findet man, die drei Verhältnisse mit den Zahlen 
x, y, z erweiternd, daß xdx -j- ydy -f zdz = 0 
sein müsse, woraus x 2 -j- y 2 z 2 =b folgt. (B) 
Das erste Integral (A), für sich betrachtet, stellt ein System paral- 
1 leier Ebenen dar, das zweite (B) eine Schar konzentrischer Kugeln um 
den Ursprung. Die Integralkuryen obiger Differentialgleichungen bilden 
somit die Gesamtheit der Kreise, welche um die Gerade — = ~ = — als 
7 a p y 
Achse beschrieben sind. Es ist aber geometrisch evident, daß sich diese 
Kreise statt durch Kugeln auf unendlich vielfache Weise durch andere 
Flächen vereinigen lassen, nämlich durch alle möglichen Rotationsflächen 
mit der vorhin erwähnten Achse; dies stimmt zu der erwähnten Mög 
lichkeit verschiedener Darstellungen der Lösung. 
3. Um die Differentialgleichungen 
dx dy ds 
x* — y 3 — z 3 2 xy 2xz 
zu integrieren, verbinde man zunächst die beiden letzten Verhältnisse zu 
der Gleichung dy dz •, , j T . , 
° ™ = —, welche das Integral 
s = ay ergibt. (a) 
Erweitert man die drei Verhältnisse mit x, y, z und bildet die Sum 
men der Zähler und Nenner, so entsteht das neue den früheren gleiche 
Verhältnis xdx -f- ydy -j- zdz 
X(x 3 -f y 3 -j- z 3 ) ’ 
das mit ~~ verglichen 1 ) die exakte Gleichung 
dy 2xdx + 2ydy -f- 2zdz 
y ~~ x 3 +y 3 +z 3 
liefert; ihr Integral ist x 2 -f- y 2 + z 2 — by, (ß) 
1) Aus der Yergleichung mit ergäbe sich 
u ocz 
x 3 + V~ + ** = c z > 
was aber, vermöge des ersten Integrals, wieder in 
x 3 y 3 z 3 — by 
übergeht.