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V. Abschnitt. § 6. Differentialgleichungen höherer Ordnung 
und ihre Zusammensetzung nach der letzten Formel gibt 
y "" lÄ lx ~ C i^ 3 + G t^ +%#+ C 4 
als die allgemeinste Funktion, welche viermal nacheinander differentiiert, 
schließlich Ix ergibt. 
379. Differentialgleichungen zweiter Ordnung im allge 
meinen. Wir wenden uns jetzt der näheren Betrachtung einer Diffe 
rentialgleichung zweiter Ordnung 
f№I-S9 = ° « 
zu. Das allgemeine Integral einer solchen, von der Form 
F(%, y, c lf c 2 ) — 0, (2) 
stellt ein zweifach unendliches System von Kurven dar. 
Umgekehrt führt eine endliche Gleichung von der Form (2) auf eine 
Differentialgleichung zweiter Ordnung, und zwar durch Elimination der 
Parameter c t , e 2 aus (2) mit Hilfe der beiden Gleichungen: 
dF dF dy 0 
dx ' dy dx ’ 
d*F g d*F dy d*F(dy\z , BFd f 
dx s dxdy dx ' dy s \dx) dy dx s 
(3) 
W 
Angenommen, die Differentialgleichung zweiter Ordnung lasse ein 
deutige Lösung nach dem zweiten Differentialquotienten zu, es sei 
y" = q>(x, y, /); (1*) 
dann gehört zu jeder Wertverbindung x/y/y', die man innerhalb des Be 
reichs von (p annimmt, ein bestimmter Wert y”. Nun ist durch xfyjy' 
ein Linienelement in dem bisherigen Sinne gekennzeichnet; die Kenntnis 
von y" gestattet, dieses Linienelement durch Angabe der zu ihm gehöri 
gen Krümmung näher zu charakterisieren. indem — = — ? berech- 
* 8 ' • (1 +y'*)% 
net werden kann. Das so erweiterte Element soll ein Krümmungselement 
heißen. Durch die Gleichung (1*) ist eine Mannigfaltigkeit von oo s Krüm 
mungselementen gegeben: durch jeden Träger xjy gehen oo 1 gewöhnliche 
Linienelemente, und jedem derselben ist ein Krümmungselement zuge 
ordnet. Die Aufgabe der Integration lautet jetzt geometrisch dahin, alle 
Kurven zu bestimmen, deren Krümmungselemente dem durch die Glei 
chung definierten System angehören.