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V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
bestimmenden Funktion y und ihres Differentialquotienten ~ vom ersten 
Grade ist. Eine Gleichung, welche in bezug auf y und die Differential 
quotienten bis zur w-ten Ordnung einschließlich einen analogen Bau auf 
weist, wird eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung genannt. Thre 
allgemeine Form ist hiernach 
p 0 y {n) + ih v ( ” “ 1} + P2V {n ~ 2) +•••-{- p n y (i) 
dabei sind j> 0 , p x , . .., p n , p Funktionen von x allein oder auch Konstanten. 
Über die Natur dieser Koeffizienten der Gleichung sollen hier die einfach 
sten Voraussetzungen getroffen werden. Sind es, wie in den meisten Fällen 
der Anwendung, ganze Funktionen von x, so sind sie in jedem endlichen 
Bereich von x eindeutig, endlich und stetig, und dieses Verhalten soll als 
wesentlich vorausgesetzt werden. Schafft man dann, wie es häufig ge 
schieht, den Koeffizienten p 0 durch Division ab, so daß der höchste Diffe- 
rentialquotient den Koeffizienten 1 erhält, so sind die Nullstellen von p 0 
aus der Betrachtung auszuschließen, weil bei ihnen die neuen Koeffizien 
ten unstetig werden. 
Von besonderer Bedeutung ist der Fall j?~0; die Gleichung lautet 
dann Poy (») V p^-^-V P2Ü (n ~ T, -\ J rP n y = 0 (2) 
und wird als homogene Gleichung bezeichnet zum Unterschiede von der 
nicht homogenen Gleichung (1); auch die Bezeichnungen reduzierte und 
vollständige Gleichung, „Gleichung ohne zweites Glied“ und „mit zweitem 
Glied“ sind für (2) und (1) gebräuchlich. 
Wegen der wichtigen Beziehungen der Gleichung (2) zur Gleichung 
(1) wird erstere die zu (1) gehörige homogene Gleichung genannt. 
Im folgenden wollen wir uns der abkürzenden Schreibweise 
^p fi y {n ~ ft) =° 
O — 0, ü.. n) 
für (1) und (2) bedienen; dabei ist yW= y. 
In bezug auf die homogene Differentialgleichung kann der folgende 
Hauptsatz bewiesen werden: Das allgemeine Integral einer homogenen line- 
aren Differentialgleichung ist linear und homogen in bezug auf die willkür 
lichen Konstanten. 
Ist nämlich y t eine Funktion von x, welche die Gleichung (2) iden 
tisch befriedigt, kurz gesagt, ein partikuläres Integral dieser Gleichung,