385. Zusammensetzung des Integrals — 886. Erniedrigung einer Gleichung 465 
385. Zusammensetzung des allgemeinen Integrals einer 
nicht homogenen Gleichung. Es sei 
(1) 
(2) 
die zu ihr gehörige homogene Gleichung; Y ein partikuläres Integral der 
ersten. 7] das allgemeine Integral der zweiten Gleichung. Dann ist also 
^p fJ Y( n ~ fl ' ) = p 
und 
daraus aber ergibt sich durch Addition 
Hiernach ist, da rj die entsprechende Anzahl willkürlicher Konstan- 
(3) 
ten enthält, 
y=Y+ri 
das allgemeine Integral der vollständigen Gleichung (1). 
Es setzt sich also das allgemeine Integral einer nicht homogenen Glei 
chung aus einem partikulären Integrale dieser Gleichung und dem allge 
meinen Integrale der zugehörigen homogenen Gleichung additiv zusammen 
Man bezeichnet Y als das Hauptintegral, g als die komplementäre 
Funktion der Gleichung (1). 
386. Erniedrigung der Ordnung einer homogenen Glei 
chung. Die Kenntnis eines partikulären Integrals einer homogenen Diffe 
rentialgleichung ermöglicht es. die Ordnung der Gleichung um eine Ein 
heit zu erniedrigen, ohne ihren linearen Charakter aufzuheben. In dieser 
Tatsache spricht sich eine der zahlreichen Analogien aus, welche zwischen 
den homogenen linearen Differentialgleichungen einerseits und den alge 
braischen Gleichungen andererseits bestehen. 
Es sei nämlich y l ein Integral der Gleichung 
(1) 
ihr allgemeines Integral kann dann immer in der Form 
angenommen werden, wenn unter z eine erst zu bestimmende Funktion 
von x verstanden wird. Zum Zwecke ihrer Ermittlung ist nur nötig aus 
zudrücken, daß (1) durch (2) befriedigt werden müsse. Nun hat man 
nach (2) und als Folge davon: 
Gz ab er, Vorlesungen. II. 4. Aufl. 
30