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V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
y = Vifzdx 
tf—yifedx + y t e 
*dx + 2 y x ’z + y x z 
y (n) «= y x ^fzdx + (i) Vx (n ' 1)2 + ( 2) y^ n ~ * )0 ' + f 
multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit p n , p n ~\, p„„ 2 , 
. . ., p Q und bildet ihre Summe, so verschwindet in dieser nicht allein die 
linke Seite weil (1) erfüllt werden muß, sondern auch das erste mit jzdx 
behaftete Glied der rechten Seite, weil y x ein Integral von (1) ist; die 
Koeffizienten von z, 2,. . ., werden bekannte Funktionen von x, die 
der Reihe nach mit q n _ x , <? n _ 2 , • • ■> io bezeichnet werden mögen. Mithin 
hängt die Bestimmung des 2 ab von der Gleichung 
q^ n ~ X) + q x £ (n ~ 2) + F q n _j0 = 0; \ß) 
die3 aber ist eine homogene lineare Differentialgleichung, jedoch von einer 
um 1 niedrigeren Ordnung, deren allgemeines Integral die Form 0 = c 2 y 2 
-j- c 3 y 3 d (- c n y n haben wird. Setzt man dasselbe, nachdem es gefunden 
wörden, in (2) ein, so ergibt sich das allgemeine Integral von (1) wieder 
in der bekannten Form 
V = c x y x + c 2 ij x jiy 2 dx + c 3 yjy 3 dx -1 h c n y x jy n dx. 
Für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ergibt sich daraus 
die Tatsache, daß die Kenntnis eines partikulären Integrals ausreicht, um 
das nötige zweite durch Quadraturen herzustellen. 
Wendet man nämlich die Substitution (2) auf die Gleichung 
y"+Viy+M = Q ( 4 ) 
an, so lautet die zur Bestimmung von z führende Gleichung 
Vi 8 ' + (PiVi "F %Vi) g ~ o» 
daraus erhält man nach Multiplikation mit dx und Trennung der Variablen 
d JL +Pl ax +2^-0-, 
das Integral hiervon ist Xz -f-fp 1 dx -f ly t 2 = 
e~fi' dx 
woraus