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V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
und dies erfordert, wenn man von der trivialen Lösung y — 0 absieiit, 
daß (3) bestehe. 
Nun ergibt sich aus (2) durch Trennung der 'Variablen und Integration 
y — e r *; 
hiernach ist die Exponentialfunktion 
e rx 
ein Integral der Gleichung (1), wenn r eine Wurzel der charakteristischen 
Gleichung (3) ist. Sind also r x , r 2 ,. . ,,r n n verschiedene Wurzeln dieser 
Gleichung, so hat man in 
y = c x cf^ + c 3 <?* x H h c n e r n x (5) 
schon das allgemeine Integral der Gleichung (1), weil, wie leicht zu zei 
gen *), das zugehörige D =4= 0 ist. 2 ) 
So gehört zu der Differentialgleichung 
y" — o?y = 0 
die charakteristische Gleichung 
r“ — a* = 0, 
deren Wurzeln -f- a, -- a sind; daher ist 
y = c x e ax -j- c 2 e~ ax ihr allgemeines Integral. 
388. Komplexe und mehrfache Wurzeln der charakteristi 
schen Gleichung. Eine besondere Besprechung erfordern die komplexen 
und die mehrfachen Wurzeln der charakteristischen Gleichung. 
Unter der Voraussetzung, die hier festgehalten wird, daß die Koef 
fizienten reelle Zahlen sind, treten in der charakteristischen Gleichung 
komplexe Wurzeln, wenn solche vorhanden, in konjugierten Paaren auf. 
Ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln, wie a -f ßi und a — ßi, liefert 
zu dem allgemeinen integral den Bestandteil 
1) Es ist nämlich 
¡ )==e (r 1 + r z+--+r n )x 
1 
1 
1 
ri 
r 2 ■ 
• f n 
ri* 
V • 
• ^ 71 
., n—l 
r l 
• ^n 
n(n~ lj 
= (-1) 2 e- a ^II(r f ~r K ), 
i,k 
(i — 1, 2,. . ., n — 15 k = i i -{“ 2, . . ., w) 
daher D =4= 0, wenn alle Wurzeln r verschieden sind. 
2) Diese Lösung des Problems hat zuerst L. Euler (1748) angegeben.