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388. Komplexe und mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung 469 
Ci e(a+ßi)x+ Cj6 («-/M)* 
wofür nach 105 geschrieben werden kann: 
<F X [c x (cos ßx 4- i sin ßx) + c 2 (eos ßx — i sin ßx)]; 
bezeichnet man die willkürlichen Konstanten c x + c 2 , i(c x — e 2 ) rnit C x , 
0 2 »), so verwandelt sich dies in 
e ax [O t cos ßx + G i sin ß x]. (6) 
Hiernach führt ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln zu einem 
aus einer Exponentialfunktion und trigonometrischen Punktionen zu 
sammengesetzten Beitrage zum allgemeinen Integrale, welcher in dem 
Falle a — 0, d. i. für rein imaginäre Wurzeln, rein trigonometrisch wird. 
Hat die charakteristische Gleichung mehrfache Wurzeln, so scheint 
es zunächst, als ob man nicht die zur Bildung des allgemeinen Integrals 
nötige Anzahl partikulärer Integrale erhalten könnte; die folgende Be 
trachtung wird jedoch zeigen, daß eine A-fache Wurzel r x genau a,uf A 
verschiedene Integrale führt. 
Mit Benutzung der Substitution 
y = e>’i x j zdx, 
welche zu den Ableitungen 
y = r x ^ x Jzdx 4- ze ViX 
y" = r x 3 ^ x Jzdx -j- 2r x ze r »* + z'(f iX 
y"= r x e?' x jzdx 4- 3r x 3 ze r ' x -f 3r x z’ &' x -)- z"&' x 
y№= r 1 n e r ^ x fzdx + r 1 n ~ 1 ze r ^ x + (^ r x n ~ 3 z'd' iX 
4- (3)fj’-VV»* + • •• + z^-^^ x 
Anlaß gibt, verwandelt sich nämlich die Gleichung (1) in die folgende: 
e*’»*|a i r 1 n ~ 1 4- a i r x n ~ 2 + • • •_ -f- a n \)zdx 
4- [nr x n ~ 1 + (n — l)o 1 r 1 "“ Ä 4 + a„«i]z 
4"iT2^( w —1 ) r i w " 2 + (n-l)(n — 2) + 2a n _ s ]z' 
4- ••• 4- gl”- 1 )} = 0, 
1) Diese sind reell, wenn man für c,, c ä konjugiert komplexe Zahlen annimrat.