470 
V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
wofür, wenn man das Polynom der charakteristischen Gleichung (3) mit 
co(r) bezeichnet, kürzer geschrieben werden kann: 
GJ 
1 
dx + ^z + ^z + 
P-Vfr \ 
-1)! ^ ) + - , ‘ + ^" 1)=3 °- 
1*2 ‘ 1 (l 
Da aber r x eine A-fache Wurzel von (3) ist, so bringt es auch die Ab 
leitungen von aj(r) bis zur Ordnung A — 1 einschließlich auf Null, d. h. 
es ist ajfo) = 0, n'(r t ) - 0, . . ., c^-%) = 0, 
während H= 0; infolgedessen vereinfacht sich die obige Gleichung zu: 
l\ ^ 
G + i)i 
.^)_1 ¡_ ^-1)= o. 
Von dieser gleichfalls homogenen linearen Differentialgleichung mit 
konstanten Koeffizienten läßt sich aber ein Integral durch bloße Über 
legung feststellen; es genügt ihr nämlich jede Funktion, deren Ableitun 
gen von der A — l-ten Ordnung aufwärts identisch verschwinden; die all 
gemeinste Funktion dieser Art ist aber ein Polynom vom Grade A — 2 
mit willkürlichen Koeffizienten; man hat also in 
2 = C 0 + c x x -} + c x _ s x*~ 2 
eine Lösung jener Gleichung; aus ihr ergibt sich, mit abgeänderter Be 
zeichnung der Konstanten, 
j*säx = C 0 -f G x x -f C 2 x 2 + •• • 4- C } _ x x l ~ l . 
Mithin lautet der aus der A-fachen Wurzel r x entspringende Teil 
des allgemeinen Integrals 
e r i x fsdx *» e ri *[C7 0 + C x x -f C 2 x 2 4- • • • -f- 0 ) _ x x l ~ v \\ (7) 
er besteht, wie es der Multiplizität der Wurzel entspricht, aus A linear 
unabhängigen Integralen, nämlich: 
e r *- x } xe ri ® 7 x i e r '- x , ..., x k ~ l e riX . 
Ist die A-fache Wurzel r t komplex, = a + ßi, so tritt mit ihr zu 
gleich die konjugierte Zahl a — ßi als A-fache Wurzel auf, und aus bei 
den entspringt der folgende Beitrag zum allgemeinen Integral: 
e“*(cos ßx + i sin ßx) [C 0 ff- C x x -f- C 2 x 2 -f • • • 4- C l _ 1 x l ~ i ] 
4- e ß *(cos ßx — isinßx) [O 0 '4- C x x -f- C 2 x 2 -f • • • 4-