391. Beispiele 481 
y {n) + »1 y {n ~ 1} + % y {n '~ 2) H f y — 2>» (13) 
in der im allgemeinen eine Funktion von # vorstellt, die Formel (12) 
hersteilen, jedoch unter der Einschränkung, daß die zur reduzierten Glei 
chung y{») _j_ y{»-1) j- -j- a n y = 0 
gehörige charakteristische Gleichung co (r) = 0 keine mehrfachen Wurzeln 
besitze. Sind r it r. 2) . . ., r n diese Wurzeln, so ist laut 387, Fußnote 
»(»—i) «» 
D - (- - r t ) 
i y k 
i =* 1, 2,. . ., n — 1; Ti = i -j- 1, i -j- 2,. . ., w; 
da die Unterdeterminante D t denselben Bau zeigt wie D, so ist weiter: 
(n — l)(n — 2) 
> + r, + .. ■ + 'n>*n(r l -rj 
iy k 
A-(- vr-K-1) 
i == 2, 3,. . . n — 1; k — i -f- 1, i +• 2, . .., n\ 
D x e~ r ^ x ■ 
B ~~ 
folglich ^ . N , \ / , - 
(r, — r s )(r, — r s )... (r, — r n ) ■> 
beachtet man aber, daß 
- ir - r i)( r ~ r s) •••(>•- rj, 
so kann der Nenner der rechten Seite auch co'(r t ) geschrieben werden. 
Demnach ist endgültig jj e -r x x 
D ~ ö)'(rj 
Ähnliche Ausdrücke ergeben sich für die übrigen Quotienten 
P Pn 
D 7 ’ • • ’ 2) 
Hiermit also schreibt sich das Integral von (13) wie folgt: 
(14) 
391. Beispiele. 1. Um die Differentialgleichung 
Tt f c% 
y — y — 2y = x 
zu integrieren, bestimme man die Wurzeln von 
co (r) = — r — 2 = 0; 
es sind dies die Zahlen r x — 2, r 2 = — 1; mit ihrer Hilfe berechnet sich 
y 
= c t e r ^ + c.j6 r ' x + • • 
■ c n e r » x 
n 
/n* /* 
I pe~ r * x äx -f- 
^rj pe->’dx + ■ 
• • -)—7j—, 1 pe~ r ‘> x dx. 
® (rjj 
Cüuber, Vorlesungen. II. 4. Aull. 
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