391. Beispiele 
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seiner Entfernung# von diesem; ferner eine Kraft, die stets seiner Ge 
schwindigkeit entgegengesetzt gerichtet und ihr proportional ist; endlich 
eine Kraft, die für sich selbst dem Punkte eine schwingende Bewegung 
in der Geraden nach dem Sinusgesetz erteilen würde; unter der gleich 
zeitigen Einwirkung aller dieser Kräfte entsteht eine Bewegung, deren 
Gesetz durch die Gleichung 
W + 2h Zi + 
dargestellt ist; hierin ist die erste Kraft durch a 2 x, die zweite durch 
die dritte durch b sin ßt vertreten; die Masse des Punktes ist mit 
1 angesetzt; von der positiven Konstante 2h wird noch vorausgesetzt, 
daß ci 2 > h* sei. — Man spricht in diesem Falle wegen der dritten Kraft 
von erzicungenen Schwingungen. 
Zu der reduzierten Differentialgleichung gehört die charakteristische 
Gleichung r 2 -f 2hr a 2 = 0 mit den kompexen Wurzeln — h -t ««', wenn 
die positive Wurzel }/« 2 —/¿ 2 = a gesetzt wird; das führt zu den parti 
kulären Integralen y x — e~ h * cos a t, i/ 2 — e~ h * sin a t. 
Um zu dem Hauptintegral zu gelangen, bilde man 
D 
Vx ih 
Vx ßt 
da D x = — y 2 , D% — y x , so kann man das Hauptintegral unmittelbar an 
setzen wie folgt: 
~ ht cos cd I e/ lt sin cd sin ßtdt -f- ~ e~ Ai sincd j e ht cos cd sin ßtdt; 
b 
— e~ 
ersetzt man in den Integralen die Produkte sin cd sin ßt, cos at sin ßt 
durch die gleichwertigen Summen 
(cos (ß — a)t — cos (ß -j- a)t) 
\ (sin (ß «) t -f sin {ß — a)t) . 
und wendet auf die Integrale dann die Formeln 267, (29) an, so ergibt 
sich für das Hauptintegral weiter die Darstellung 
0 ..4 T ]l C0S (ß — <*)t+(ß — tt) Sill (ß — Of)i 
2a cosccr h * + (ß_ a y 
h cos (ß -j- a)t (/5 -f- «) sin (ß -f- a)t "j 
, ö ..¿T h sm (ß F a )t (ß ~h a ) cos (ß ~i~ a )t 
-t- — sm at|_ +W+«? 
h sin (ß -f- u)t — (ß — a) cos (ß — «) t "I 
+ W + IJZZM)* J»