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V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
2. Bei den Gleichungen 
4l _+a 4f' + ^ ==() 
empfiehlt sich ein ähnlicher Vorgang, um zu Gleichungen zu gelangen, 
die je nur eine abhängige Variable enthalten. Wenn man dm erste 
Gleichung unter Zuziehung der zweiten differentiiert, ergibt sich nach 
einiger U mformung 
tw + ( №§ + 4t + a¥x “ °» 
ebenso aus der zweiten unter Zuziehung der ersten 
dt 3 
+ ( 0 *+**)4f--«*v-o. 
Es wäre jedoch nicht zweckmäßig, bei diesen Gleichungen stehen 
zu bleiben; macht man den Differentiationsprozeß noch einmal unter Be 
rücksichtigung der ursprünglichen Gleichungen, so kommt man zu 
d ' x -+(a*+‘W)^- + Vx-0 
dt* 
d*y 
~dt* 
4+ i 
dt 8 
-j- A ,4 i/ — 0, 
also zu zwei bis auf das Zeichen der abhängigen Variablen vollständig 
übereinstimmenden homogenen linearen Gleichungen mit konstanten Koef 
fizienten, zu denen die charakteristische Gleichung 
r 4 -}- (a 2 -f 2ft 8 )» ,2 -|- 
gehört, die auch (r 2 -f lt T f + a 2 r 2 = 0 geschrieben und offenkundig nur durch 
rein imaginäre Werte von r erfüllt werden kann, deren Quadrate, positiv 
genommen, sich als Wurzeln der quadratischen Gleichung (/, 2 —p ) 2 —a 2 p = 0 
ergeben. Nennt man diei-e Quadrate cq 2 , cq 2 , so sind die Lösungen der 
obigen Gleichungen übereinstimmend 
X — A cos <q1 -f JB sin u x t -f- C cos a 5 t + D sin c< 2 t 
y = Äcos a t t -f -B'sin a x t -k Gcos a 2 i -{- D'sin a 2 t 
Damit es aber die Lösungen des Systems seien, müssen die Be 
ziehungen zwischen den Konstanten ermittelt werden; sie ergeben sich 
aus der Identität, die durch Einsetzung von x, y in eine der .Gleichungen 
entsteht; so liefert die erste die Identität