893. Integration durch Reihen 
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§ 8. Integration durch Reihen. 
393. Allgemeine Verfahrungsweisen. Wenn die zur Integnftion 
vorgelegte Gleichung unter keine der bisher behandelten Formen fällt, bei 
welchen die Lösung auf Quadraturen sich zurückführen läßt, so greift man 
zu dem Hilfsmittel der Integration durch, Reihen. 
Vorausgesetzt, daß eine die Gleichung befriedigende Funktion von 
einer Stelle der unabhängigen Variablen aus sich in eine Potenzreihe 
entwickeln läßt, wird diese Entwicklung durch die Taylorsche Reihe 
gegeben sein und allgemein lauten: 
У = Уо + ( x ~. x o) + Y72 ( x ~ х оУ + • • '» 
(1) 
wobei у 0 , y 0 ', уц, . . . die zu x = x 0 gehörigen Werte von у und seinen 
Ableitungen bedeuten. Die Diiferentialgleichung gestattet die Gewinnung 
dieser Werte auf Grund folgender Erwägungen. 
Angenommen, die Gleichung sei von der и-ten Ordnung und lasse 
sich in bezug auf den höchsten Differentialquotienten уauf lösen; dann 
wird 
(2) 
y {n) = <p 0, y, y, • •*, 2/ ( " _1) ) 
die allgemeine Form der Gleichung sein. 
Die Gleichung (2) gestattet aber, auch die höheren Ableitungen von * 
y über die n-te hinaus durch x,y,y, ■ • •, i/"- 1 ) darzustellen; denn differen- 
tiiert man sie nach x, so entstehen rechts alle Differentialquotienten bis 
zur w-ten Ordnung einschließlich, und ersetzt man den höchsten von ihnen 
durch seinen Wert aus (2), so wird auch durch x, y, y\ . . ., y( n ~^ 
ausgedrückt sein. Auf das Resultat dasselbe Verfahren angewendet, er 
gibt y( n + 2) in analoger Darstellung, usw. 
Nun liegt es im Wesen einer Differentialgleichung w-ter Ordnung, 
daß man einem Werk* x — x 0 der unabhängigen Variablen beliebige Werte 
von 
zuordnen kann; bezeichnet man diese Werte mit 
c l) C i) • ■ •> C ni 
so sind nach dem Vorausgeschickten für x = x 0 alle Ableitungen von y, 
von der n-ten angefangen, durch c x , c 2 , . . ., c n ausgedrückt und hiermit 
die Koeffizienten von (1) gewonnen. Da ein auf solche Weise für y ge 
fundener Ausdruck n willkürliche Konstanten enthält, stellt er das allge-