Zweiter Abschnitt. 
Unbestimmte Integrale. 
§ 1. Integration rationaler Funktionen. 
238. Allgemeine Sätze über die Zerlegung eines rationalen 
Bruches. Unter den verschiedenen Gattungen von Funktionen gibt es 
nur eine, für welche die unbestimmte Integration theoretisch immer aus- 
gefüKrt werden kann; es sind die rationalen Funktionen. Die praktische 
Durchführung hängt jedoch von einer Voraussetzung ab, welche alsbald 
angeführt werden wird. 
Jede gebrochene rationale Funktion kann auf die Form eines Bruches 
gebracht werden, dessen Zähler und Nenner rationale ganze Funk 
tionen von x sind; man darf dabei voraussetzen, daß der Bruch irreduk- 
tibel sei, d. h. daß Zähler und Nenner keinen gemeinsamen algebraischen 
Teiler haben, mit andern Worten, daß sie für keinen Wert von x gleich 
zeitig Null werden. Der Nenner sei vom Grade n. 
Ist der Zähler von demselben oder einem höheren Grade, so läßt 
sich der Bruch durch wirkliche Ausführung der Division in eine ganze 
Funktion und eine echt gebrochene zerlegen, derart, daß 
$(ar) 
W) 
darin ist F{x) höchstens vom Grade n — 1. Die Integration des vorge 
legten Bruches kommt dann zurück auf die Integration einer ganzen 
Funktion und eines echten Bruches; die erste Aufgabe ist bereits erledig 
(234), es erübrigt noch die zweite. 
Nach den Lehren der Algebra ist jede ganze Funktion mit reellen 
Koeffizienten in reelle Faktoren zerlegbar, welche sich als Potenzen von 
ganzen Funktionen des ersten und zweiten Grades in x darstellen. Diese 
Zerlegung hängt mit den Nullstellen oder Wurzeln der Funktion in der 
Weise zusammen, daß eine einfache reelle Wurzel a zu der Zerlegung