414. Allgemeine Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 559 
6. Man löse die Gleichungen: 
«0 
p*“# 2 (! -m); 
(Löstmg :* + «</ + & -tH-«’ + y * ^=qr|) ' 
/5) p* + xp = q-, 
^Lösung: z — ay 4- b = — ~ -f y]/# 2 fi- 4 a + aZ(:z -f-y# 2 -f 4a)^ • 
7. Die Fläche zu bestimmen, deren Tangentialebenen auf den drei 
Koordinatenachsen Abschnitte von konstantem Produkt bilden (Lösung: 
xyz = №). 
8. Die Fläche zu bestimmen, deren Tangentialebenen auf den drei 
Koordinatenachsen Abschnitte von konstanter Summe bilden (Lösung: 
(]/# +y^) 2 = &)• 
414. Allgemeine Methode zur Lösung nichtlinearer Glei 
chungen. Die allgemeine, von Lagrange und Charpit 1 ) herrührende 
Methode der Integration einer nichtlinearen Gleichung 
*(x,y,z,p,q) = 0 (1) 
geht darauf aus, eine zweite Gleichung zwischen x, y, z, p, q und einer 
willkürlichen Konstanten a: 
fix, y, z, p, q) = a (2) 
zu finden derart, daß die aus (1) und (2) resultierenden Bestimmungen 
für p, q (im allgemeinen Funktionen von x,y,z, a) 
dz = pdx -f qdy (3) 
zu einer exakten Gleichung (353) machen. Die hierfür notwendige Be 
dingung besteht darin, daß p, vollständig nach y differentiiert, dasselbe 
Resultat ergeben muß, wie die vollständige Differentiation von q nach 
x, d. h. daß 
oder, wenn man für 
dp . djpdz_ dg , dg dz 
dy ' dz dy dx dz dx 
wieder die Zeichen p, q gebraucht, daß 
dp 
dy 
identisch erfüllt sein muß. 
+ 
dp n = H 
dz ^ dx 
+ 
(4) 
1) In einem 1784 der Pariser Akademie vorgelegten, jedoch nicht gedruckten 
Memoire, über dessen Inhalt S. F. Lacroix in seinem Traite du calc. diff. et du 
calc. integr., t. II (1814) p. 6‘27 sq. berichtet. Indessen ist, da die Abhandlung 
auch später nie veröffentlicht wurde, an Charpits Verdienst gezweifelt worden.