414. Allgemeine Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 561 
Differentialquotienten der gegebenen Funktion F (x, y, z, p, q) die Ab 
kürzungen: 
dF dF „ dF y dF p dF « 
dx ' d~y~" ' dq ” 
so gelangt man zu der Gleichung; 
p n + Q% + (Pp+ Qi) % 
(X + pZ)^-(Y+qZ) df 
0, 
(9) 
aus welcher f zu bestimmen ist. Hiernach hängt diese Bestimmung von 
einer homogenen linearen Differentialgleichung (409) ab, die wiederum 
auf die Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen, 
nämlich dx dy ds dp 'dq 
P “ Q “ P~P + Qq ~ ~X+pZ “ ~ Y -{- qZ 
(10) 
zurückführt. 
Ein Integral dieses Systems und damit auch ein Integral der Glei 
chung (9) ist bekannt: es ist die Funktion F(x } y, z,p, q). In der Tat, 
setzt man in (9) statt der Ableitungen von /"jene von F ein, so wird sie 
identisch befriedigt, da 
PX + QY+(Pp + Qq)Z - (X + pZ)P - (7 + qZ)Q sO ist. 
Hat man ein zweites, davon verschiedenes Integral des Systems (10) 
gefunden, so kommt es nur noch auf die Integration der exakten Glei 
chung (3) an. 
In den besonderen Fällen, welche den Gegenstand des vorigen Arti 
kels gebildet haben, führt die allgemeine Methode ebenfalls zum Ziele 
und bestätigt die dort auf Grund geometrischer Überlegung gemachten 
Aufstellungen. 
So ist bei der Differentialgleichung F(j), q) =» 0 
X* 7=7 = 0, 
infolgedessen geben die beiden letzten Teile der Hilfsgleichungen 
dp — 0, dq ^ 0, woraus p = a, q = b, 
wozu die weitere notwendige Bedingung F(a, b) — 0 hinzutritt. 
Die Differentialgleichung F(x t p, q) = 0 gibt 
7=0, 7=0, 
infolgedessen ist vermöge (10) 
dq = 0, woraus q — a. 
Oanb«r, VorlMiutjjfan, II. 4. Aofl. 
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