418. Bezüglich der Funktion lineare Gleichungen 
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befriedigt -wird, auch z = C(p{x } y) ein Integral derselben ist; und weiter, 
wenn z = <p x (x, y), z *= qp 3 (x, y) zwei Integrale jener Gleichung vor 
stellen, auch der mit willkürlichen Konstanten G x , C t gebildete Ausdruck 
z~C x <p v (x,y) + C 2 (p 3 (x,y) 
ein Integral bedeutet; diese Bemerkung, von deren Richtigkeit man sich 
ebenso leicht wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen überzeugt, 
ist wichtig für die Konstruktion des allgemeinen Integrals. 
Wir setzen nun die Koeffizienten der Gleichung (1) als konstant 
voraus. Führt man in ihre linke Seite den mit vorläufig unbestimmten 
Zahlen a, ß gebildeten Ausdruck 
e = e ax +№ (2) 
ein, so verwandelt sie sich in das Produkt 
e«*+<*y[a 0 + 24 2b x ß -f c 0 a 2 4 2c x ccß 4 Cg/3 2 ]; 
mithin ist (2) nur dann, dann aber immer ein Integral von (1), wenn 
a, ß der quadratischen Gleichung 
a 0 4* 2& 0 a 4* %h x ß 4" c 0 a s 4* 2c x aß 4* c 3 ß^ — 0 (3) 
genügen. Ist also a k) ß k eine Lösung dieser charakteristischen Gleichung, 
so ist C k e a i‘ x +fikv 
ein Integral, und das allgemeinste Integral ist 
z - ^C k e a k x +l i kv ) (4) 
die Summe eigentlich über die oo 1 Wertverbindungen a h / ß k erstreckt, 
welche der Gleichung (3) entsprechen. 
Von besonderem Interesse ist der Fall, daß die linke Seite von (3) 
Zerlegung in lineare Faktoren gestattet, so daß 
{A l a 4 Biß 4 (A 3 a 4- B%ß 4 G 3 ) — 0 
ist. Zieht man daraus die beiden Bestimmungen 
ß = ma 4 », ß — m'cc 4 w', 
so zerfallt (4) in zwei Teile: 
g =» e *!/^Ce(* +m ri a 4 
die Summen über alle reellen Werte von a erstreckt und jedem a ein 
beliebiges C zugeordnet. Die erste Summe aber stellt in letzter Linie 
eine willkürliche Funktion von x + my, die zweite eine willkürliche