572 Y. Abschnitt. § 2. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung
419. Die Differentialgleichungen von Ampère und Monge.
Man gelangt zu einer wichtigen und umfassenden Klasse partieller
Differentialgleichungen zweiter Ordnung, wenn man sich die Frage vor
legt, welche Form eine solche Differentialgleichung haben muß, damit
sie ein Zwischenintegral von der Zusammensetzung
v =* (p ( u) (1)
besitze; darin sind w, v bekannte Funktionen von x, y, z, p t q und be
deutet (p eine willkürliche Funktion.
Die Antwort ergibt sich auf folgende Weise. Differentiiert man
diese Gleichung einmal in bezug auf x } ein zweitesmal in bezug auf y,
wobei zu beachten ist, daß z, p, q von x, y abhängen, so ergeben sich
die Gleichungen:
dv
dx
dv
dy
• r \ (d u « du .du
-f + T,p + Ti r
> / v (du .du .du
” V « \Ty + T. 2 + Tr s
Durch Elimination des willkürlichen <p' (u) und Ordnen des Resultats
nach den zweiten Ableitungen erhält man eine Gleichung von dem Baue:
Er + 2Ks + Lt+M+ N (rt — s s ) — 0; (2)
die Koeffizienten H, K, L, M, N sind im allgemeinen Funktionen von
x } y, z, p, q, deren Bildung aus u, v leicht hingeschriebeu werden kann.
Hierdurch ist erwiesen, daß jede Differentialgleichung zweiter Ord
nung, die ein Zwischenintegral der Form (1) besitzt, den Bau von (2)
aufweisen muß. Doch kann nicht umgekehrt behauptet werden, daß
jede Differentialgleichung von der Art (2) ein Zwischenintegral der
Form (1) haben müsse.
Ein besonderer Fall der Gleichung (2) ist die in bezug auf die
zweiten Ableitungen lineare Gleichung
Er -f 2Ks -f Lt + M — 0, (3)
die sich dann einstellt, wenn N = ^4“-^ == 0 ist.
d (i>, ä)
Man bezeichnet (2) als die Amperesche und (3) als die Differential
gleichung von Monge 1 ).
1) G. Monge, Histoire de l’Acad. des Science«, 1784. — A. Ampère, Jour
nal de l’École polytechn. 11, cab. 17, 18 (1820).