574 V. Abschnitt. § 2. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 
Gesetzt aber, die Gleichungen (2), (5), (6) reduzierten sich auf zwei, 
dann bleibt eine der drei letztgenannten Größen willkürlich; einen Flä 
chenstreifen, bei dem dies einritt, nennt man eine Charakteristik (1. Ord 
nung) der Differentialgleichung (2). Es ist anznnehmen, daß durch eine 
Charakteristik unendlich viele Integralflächen gehen werden, die sich längs 
ihr berühren, weil sie längs ihr eine gemeinsame umschriebene Develop- 
pable besitzen. 
Um zu erkennen, wie der eben erörterte Fall eintreten kann, formen 
wir die Gleichung (2) wie folgt um. Vergleicht man ihre mit N multi 
plizierte linke Seite mit dem Produkt 
(Nr + L) (Nt + H) = N*rt + HNr + LNt + LH } 
so ist zu erkennen, daß man für (2) auch schreiben kann: 
(Nr + L) (Nt + H) - Nh 2 + 2KNs - HL + MN = 0; 
! i 
setzt man vorübergehend — Ns = X und nennt X x , a 2 die Wurzeln der 
quadratischen Gleichung: 
X 2 f 2KX NHL- MN = 0, 
(?) 
so daß etwa X x = - K + ]/K 2 - HL + MN, 
= -~K~YK 2 ~ HL -f MN, 
so nimmt (2) die Form an: 
(Nr + L) (Nt NH)- (Ns + X x ) (Ns + X 2 ) = 0. 
Dies aber kann zerfällt werden entweder in 
Nr + L = p (Ns -f- Äj) 
Ns + X 2 = p(Nt -f H) 
(8) 
oder in 
wobei p jede beliebige Zahl sein kann. 
Der in Rede stehende Fall der Unbestimmtheit wird eintreten, 
wenn die Gleichungen (5), (6) entweder mit dem System (8) oder mit 
jenem (9) identisch sind; denn dann stehen tatsächlich nur zwei (lineare) 
Gleichungen für die Bestimmung von r, s, t zur Verfügung. Um die Be 
dingungen hierfür zu finden, bringe man (8) in die Gestalt: 
liX x — L = Nr — pNs, pH — A 2 = Ns — pNt; 
vergleicht man den ersten Ansatz mit (5), den zweiten mit (6), so findet