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423. Die Integrationsmethode von Monge und Ampère 
du = 0 
dv — 0 
zu kombinieren, so ergibt sich als Zwischenintegral: 
v = (p(u), 
wodurch die Integration auf das nächsteinfachere Problem der Lösung 
einer Differentialgleichung erster Ordnung zurückgeführt erscheint. 
Gelingt es in einem Falle, drei integrable Kombinationen zu bilden: 
du = 0, dv — 0, dw = 0, 
so ist die Integration vollendet; denn zwischen den daraus resultierenden 
ersten Integralen M _ a¡ „ _ w _ c 
können p, q eliminiert werden, wodurch sich eine Gleichung 
W(x, y, z, a, b, c) = 0 
ergibt, die ein dreifach unendliches System von Integralflächen, das voll 
ständige Integral, darstellt, aus dem sich das allgemeine Integral in der 
bekannten Weise hersteilen läßt (411). 
Es soll nun gezeigt werden, daß die Auffindung von Zwischeninte 
gralen auf die Lösung homogener linearer Differentialgleichungen erster 
Ordnung znrückführbar ist. 
Um eine integrable Kombination der obigen drei Gleichungen zu 
erhalten, sind Funktionen u, ß, y von x, y, z,p, q erforderlich, für welche 
a(Ldz X x dy fl- Ndp) -f- ß(X 2 dx + Hdy + Ndq) -f- y(dz —pdx — qdy) 
ein exaktes Differential du ist; da nun ein solches den Ausdruck: 
du j du . du j . du , du , 
äs äx + Ty d y + T, ds + Ts dp + F? 
hat, so haben a, ß, y folgende Bedingungen zu erfüllen: 
uL + ßX 2 — yp 
ou 
dx 
du 
dy 
d u 
dz 
du 
dp 
du 
dq 
= aX 1 -|- ß H — yq 
— v 
- aN 
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