580 V. Abschnitt. § 2. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 
durch Elimination von a,ß,y ergeben sich daraus die beiden Gleichungen: 
N Tz + N PT*- L 
■ du , iT„du T du _ ^ du __ q 
% dq~~ 
■ r du , du . ou ttdu s\ 
(20) 
Die Bestimmung eines Zwischenintegrals von der Form u = a ist 
hiernach darauf zurückgeführt, eine Funktion u zu finden, welche den 
zwei homogenen linearen Differentialgleichungen (20) zugleich genügt. 
Durch Vertauschung von X 1} X 2 ergibt sich das dem zweiten Charakte 
ristikensystem entsprechende Gleichungspaar. 
Daß eine Funktion u, die den Gleichungen (20) genügt, auch die 
Differentialgleichung (2) befriedigt, ist so zu erkennen. Differentiiert man 
u — a in bezug auf x und y und eliminiert zwischen den so entstandenen 
Gleichungen: 
du . du , du .du 
dx ' dz L dp dq 
du , du .du . du . 
oy ds^- dp dq 
du du 
und den Gleichungen (20) so entsteht das Gleichungspaar: 
du r. 
(Nr + L)^ p + (Ns+X 2 ) 
dq 
(Ns + ^ + im+H^o, 
das aber nur unter der Bedingung 
(Nr + L) (Nt + H)~ (Ns + X t ) (Ns -f X,) = 0 
bestehen kann; das aber ist die Gleichung (2) in der ihr später erteilten 
Form (2*). 
424. Beispiele, 1. Es sind die Flächen zu bestimmen, deren sämt 
liche Punkte parabolische Punkte sind. 
Das Problem erfordert die Integration der Differentialgleichung 
rt — s 2 — 0 
(210), die von der Amper eschen Form ist mit 
H = K= L = M=0- : N= 1, X i = = 0; 
dem einzigen Charakteristikensystem kommen nach (12, 13) die Differen 
tialgleichungen 
dp = 0, dq = 0, dz — pdx — qdy = 0