424. Beispiele 581 
zu, wovon die ersten zwei unmittelbar integrabel sind, während die dritte 
mit Rücksicht auf sie ebenfalls in integrabler Form, nämlich: 
d(z — px — qy) = 0 
geschrieben werden kann. Hiernach hat man die drei Zwischenintegrale: 
P = a , Q. = 1>, z-px - qy = c, 
aus welchen sich durch Elimination von p, q das vollständige Integral 
z = ax ff- by ff- c 
ergibt, das die Gesamtheit aller Ebenen darstellt. 
Mit b = <p(a), c = wobei <p, Zeichen für willkürliche Funk 
tionen sind, wird daraus in allgemeinster Weise ein einfach unendliches 
Ebenensystem z = ax ff- (p(a)y ff- rf>(a) 
herausgehoben, dessen Einhüllende ebenfalls eine Integralfläche ist. Das 
allgemeine Integral umfaßt also alle developpablen Flächen (198). 
Jede Gleichung F(p, q, z — px — qy) = 0, 
mag F welche Funktion immer sein, ist ein Zwischenintegral; man. er 
kennt darin unmittelbar die verallgemeinerte Clai raut sehe Gleichung 
(413, 3.). Eine solche besitzt ein singuläres Integral in der Einhüllenden 
des zweifach unendlichen Ebenensystems 
F(a, &, z — ax — by) = 0; 
dieses singuläre Integral aber, da es einer nicht abwickelbaren Fläche 
entspricht, gehört nicht zu den Lösungen der vorgelegten Differential 
gleichung. 
2. Es soll die Gleichung 
q 2 r — 2pqs ff- p 2 t = 0 integriert werden. 
Dieselbe ist von der Monge sehen Form mit 
H-q 2 , K — pq, L =p 2 , M = 0, \ ; 
das einzige Charakteristikensystem hat also nach (18, 19) die Differen 
tialgleichungen: pdx ff- qdy = 0 
qdp — pdq = 0 
dz —■ pdx — qdy = 0; 
die zweite läßt sich in der integrablen Form 
<^- = 0; 
9 ’ 
dz = 0 
die dritte wegen der ersten