424. Beispiele 
585 
5. Man löse folgende Gleichungen: 
a) Xpt + rt — s 3 = 0, X eine gegebene Funktion von x. (Die Glei 
chungen (12,13): Xpdx 4- dp = 0, dq = 0, dz — pdx — qdy — 0 geben 
der Reihe nach p — ae J Xdx } q = b, z = aj e ^ Xd ’ dx -f- by -f- c; letz 
teres ist die vollständige Lösung; man leite daraus die allgemeine Lö 
sung ab.) 
b) r — 2as -f- ci 2 t = 0. (Die Gleichungen (18, 19): dy + «d# = 0, 
dp — «dg = 0, dz —pdx — qdy = 0 fuhren auf y -f- ax= C i} p—aq=G. 2i 
z — x(p — ciq) = 0 3 , woraus sich die Zwischenintegralep-aq = (p(y-\-ax), 
z — x{p — aq) — 4>(y 4- ax) ergeben; Eliminatmn von p, q gibt die 
schließliche Lösung z — X(p(yax)-\-ty(yax) mit zwei willkürlichen 
Funktionen. 
c ) c l r + (#{? — p) s — pst — 0. (Das eine der Systeme (12,13) lautet: 
pdx + qdy = 0, dp -j- zdq = 0, dz —pdx — qdy = 0, aus ihm folgen 
die integrablen Gleichungen dz = 0, dp 4- sdq = 0, deren Integrale g — a, 
p zq = b auf die lineare Gleichung p -f sq = ca(ß) führen. Setzt man 
j = cp'(z), so ergibt sich aus den Hilfsgleichungen ™ ~ 
die schließliche Lösung y — Z(p'{cc) + cp(g) = tp[x — | mit zwei will 
kürlichen Funktionen.) 
d) x 2 r -f- 2xys + y % t = 0. (Die Gleichungen (18, 19) lauten hier: 
xdy — ydx = 0, xdp-\- ydq — 0, dz—pdx — qdy = 0; wegen der zweiten 
gibt die dritte z — px — qy 
ci und die erste — 
x 
b; dies führt auf die 
<p(&), zu der die Hilfsgleichungen 
<p(&) 
= V 
lineare Gleichung xp -f- yq= z 
dx dy dz ... .. T , . 
x = y = --(fi) gehören; aus ihren Integralen 
folgt schließlich die Lösung z = <jp (~^j + xij> mit zwei willkürlichen 
Funktionen.)