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II. Abschnitt. § 2. Integration irrationaler Funktionen 
. y 2 = ax*2bx + c (8) 
bestimmt ist; dann bezieht sich das Integral 
ffix, V) dx (9) 
auf eine rationale Funktion von x und einer Quadratwurzel aus einer 
ganzen Funktion zweiten Grades; der Fall a = 0 kann nämlich ausge 
schlossen werden, weil er bereits unter 248, 2. erledigt ist. Die Quadrat 
wurzel, welche für y gesetzt wird, ist durch die ganze Rechnung mit 
demjenigen Vorzeichen beizubehalten, das der Natur der Aufgabe ent 
spricht. 
Als rationale Funktion hat f(x, y) im allgemeinsten Falle die Form 
eines Bruches aus zwei ganzen Funktionen von x, y\ da die geraden 
Potenzen von y rational, die ungeraden aber als Produkt aus einer ge 
raden Potenz und y darstellbar sind, so kommt schließlich 
f( x y) = -g±gjL 
T\ x >y) M' + N'y> 
als Ausgangsform zu betrachten, wobei M, N, 31', N' ganze Funktionen 
von x bedeuten. 
Macht man den Nenner rational, so wird 
M -f Ny (31+ Ny) (M'—N’y) 
~M' + N'y~ M't—N'ty* 
MM' — NN'y* , (M'N — MN')y* 1 
— ~ M'*— N'*y* + M' 2 — N' *y* ' y’ 
also schließlich f(x, y) *= P + 
wobei P und Q rationale Funktionen von x bezeichnen. 
Demnach ist das vorgelegte Integral 
Jf(x, y)dx =fpdx +f q ~ (10) 
auf das Integral einer rationalen Funktion P, das als erledigt zu be- 
—- zurückgeführt, in welchem 
y 
die Irrationalität lediglich auf den Nenner beschränkt ist. 
Die rationale Funktion Q im Zähler kann wieder, wenn man den 
allgemeinsten Fall ins Auge faßt, als Aggregat aus einer ganzen Funk- 
JEP (od) 
tion G(x) und einer irreduktiblen echt gebrochenen Funktion —y darge-