250. Quadratische Irrationalität 
57 
stellt werden, so daß die Berechnung des Integrals (9) zurückkommt 
auf die beiden irrationalen Integrale 
und • 
J y ax J vfx) v 
(11) 
Diese Integrale aber lassen sieb auf ein gemeinsames Grundintegral, 
nämlich auf 
(12) 
/ 
dx 
V 
zurückführen; der Prozeß dieser Zurückführung soll im folgenden Artikel, 
für das zweite der Integrale (11) mit einer Einschränkung, vorgetragen 
werden. 
251. Zurückführung auf das Grundintegral. Bezüglich des 
ersten Integrals (11) gilt der folgende Satz: Ist die ganze Funktion G(x) 
vom Grade m, so kann, und nur auf eine Weise, eine ganze Funktion G x (x) 
vom Grade m — 1 und eine Konstante A derart bestimmt werden, daß 
G(x) 
y »i>.{ BMv) + j 
ist. 
(13) 
Führt man die Diiferentiation aus, so geht (13) über in 
GW) 
y 
Gf(x)y + 
G x (x) (ax -j- b) 
y 
+ 
und nach Beseitigung der Nenner in 
G(x) = Gf(x) (ax 2 -f 2b x -f c) + G x (x) (ax -f b) + A- 
(14) 
beide Teile dieser Gleichung sind nach Ausführung der angezeigten 
Operationen ganze Funktionen von x des Grades m; vergleicht man also 
die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x links und rechts, so er 
gehen sich zur Berechnung der m Koeffizienten von G x (cc) und von A 
die gerade erforderlichen m -j- 1 Gleichungen, welche, da sie in bezug 
auf die genannten Größen linear sind, deren eindeutige Bestimmung er 
möglichen. 
Sind G x (x) und A auf Grund von (14) ermittelt, so liefert die Glei- 
clmng (13) jm dx=Gi{x)y + Ä j ä ^ i (15) 
wodurch tatsächlich das linksstehende Integral auf das Grundintegral (12) 
zurückgeführt erscheint.